Номер 188, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

188. В треугольной пирамиде все ребра равны. Найдите угол между медианой одной грани:

а) и скрещивающимся с ней ребром (рис. 76);

б) и скрещивающейся с ней медианой другой грани (рис. 77).

Рис. 76

Рис. 77

Поскольку в треугольной пирамиде все ребра равны, то она является правильным тетраэдром. Все ее грани — равные равносторонние треугольники. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Тогда длина медианы (которая также является высотой и биссектрисой) каждой грани равна $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

а) и скрещивающимся с ней ребром (рис. 76)
Пусть дан тетраэдр $SABC$. Найдем угол между медианой $SM$ грани $SBC$ (где $M$ — середина ребра $BC$) и скрещивающимся с ней ребром $AC$.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую. Проведем среднюю линию $MN$ в треугольнике $ABC$, где $N$ — середина ребра $AB$. По свойству средней линии, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{a}{2}$.

Таким образом, искомый угол между $SM$ и $AC$ равен углу $\angle SMN$ в треугольнике $SMN$. Найдем стороны этого треугольника:

• $SM$ — медиана грани $SBC$, поэтому $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $SN$ — медиана грани $SAB$, поэтому $SN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $MN = \frac{a}{2}$.

Треугольник $SMN$ — равнобедренный ($SM=SN$). Найдем косинус угла $\angle SMN$ по теореме косинусов для треугольника $SMN$: $SN^2 = SM^2 + MN^2 - 2 \cdot SM \cdot MN \cdot \cos(\angle SMN)$
$(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(\angle SMN)$
$0 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle SMN)$
$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle SMN) = \frac{a^2}{4}$
$\cos(\angle SMN) = \frac{a^2/4}{a^2\sqrt{3}/2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Искомый угол равен $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{6})$.
Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{6})$

б) и скрещивающейся с ней медианой другой грани (рис. 77)
Пусть дан тетраэдр $SABC$. Найдем угол между медианой $AM$ грани $ABC$ (где $M$ — середина $BC$) и медианой $SN$ грани $SAB$ (где $N$ — середина $AB$). Эти медианы скрещиваются.

Для решения используем метод векторов. Введем базисные векторы, отложенные от вершины $A$: $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$, $\vec{AS} = \mathbf{s}$. Так как тетраэдр правильный, длины этих векторов равны $a$, а углы между ними равны $60^\circ$.
$|\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = |\mathbf{s}| = a$
$\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{s} = \mathbf{c}\cdot\mathbf{s} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$

Выразим векторы медиан через базисные:

• Вектор медианы $AM$: $M$ — середина $BC$, значит $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c})$.
• Вектор медианы $SN$: $N$ — середина $AB$, значит $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}$. Тогда $\vec{SN} = \vec{AN} - \vec{AS} = \frac{1}{2}\mathbf{b} - \mathbf{s}$.

Найдем косинус угла $\alpha$ между этими векторами по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AM} \cdot \vec{SN}|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{SN}|}$

Длины векторов медиан равны $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, поэтому $|\vec{AM}| \cdot |\vec{SN}| = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3a^2}{4}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AM} \cdot \vec{SN} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot (\frac{1}{2}\mathbf{b} - \mathbf{s}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}\mathbf{b}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{b}\cdot\mathbf{s} + \frac{1}{2}\mathbf{c}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{c}\cdot\mathbf{s})$
$= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}|\mathbf{b}|^2 - \frac{a^2}{2} + \frac{1}{2}\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(-\frac{a^2}{4}) = -\frac{a^2}{8}$

Теперь найдем косинус угла:
$\cos \alpha = \frac{|-a^2/8|}{3a^2/4} = \frac{a^2/8}{3a^2/4} = \frac{a^2}{8} \cdot \frac{4}{3a^2} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
Искомый угол равен $\arccos(\frac{1}{6})$.
Ответ: $\arccos(\frac{1}{6})$