Номер 190, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

190. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ (рис. 78). Найдите высоту пирамиды, учитывая, что все боковые ребра образуют с плоскостью основания угол $\varphi$.

Рис. 78

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$. Обозначим гипотенузу основания как $c$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — её основание, лежащее в плоскости $ABC$.

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость (отрезком $OA$). По условию, все боковые рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ образуют с плоскостью основания $ABC$ одинаковый угол $\phi$.
Следовательно, $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \phi$.

Рассмотрим треугольники $\triangle SAO$, $\triangle SBO$ и $\triangle SCO$. Они являются прямоугольными, так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания. У этих треугольников общий катет $SO$ и равные острые углы $\phi$. Таким образом, треугольники $\triangle SAO$, $\triangle SBO$ и $\triangle SCO$ равны по катету и острому углу.

Из равенства этих треугольников следует равенство их катетов: $OA = OB = OC$.

Это означает, что точка $O$ (основание высоты пирамиды) равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$, а значит, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы.

Следовательно, точка $O$ — это середина гипотенузы, длина которой равна $c$. Радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы:
$R = OA = OB = OC = \frac{c}{2}$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H = SO$ из любого из прямоугольных треугольников, например, из $\triangle SAO$. В этом треугольнике катет $OA$ является прилежащим к углу $\phi$, а катет $SO$ — противолежащим. По определению тангенса:
$\tan(\phi) = \frac{SO}{OA}$.

Выразим высоту $SO$:
$SO = OA \cdot \tan(\phi)$.

Подставим известное значение $OA = R = \frac{c}{2}$:
$H = SO = \frac{c}{2} \tan(\phi)$.

Ответ: $\frac{c}{2} \tan(\phi)$.