Номер 184, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

184. Точка $M$ отстоит на 13 см и 15 см от параллельных прямых $a$ и $b$ плоскости $\alpha$ (рис. 75). Найдите расстояние между прямыми $a$ и $b$, учитывая, что расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 12 см.

Рис. 75

Пусть $M$ — данная точка, $\alpha$ — плоскость, в которой лежат параллельные прямые $a$ и $b$.

1. Построим перпендикуляр $MB$ из точки $M$ к плоскости $\alpha$. Точка $B$ является проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 12 см, следовательно, $MB = 12$ см.

2. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $A$ — точка на прямой $a$, а $C$ — точка на прямой $b$, такие что $MA \perp a$ и $MC \perp b$. По условию, $MA = 13$ см и $MC = 15$ см.

3. Отрезки $BA$ и $BC$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

4. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MA$) перпендикулярна прямой ($a$) в плоскости, то и ее проекция ($BA$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $BA \perp a$. Аналогично, так как $MC \perp b$, то $BC \perp b$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$, в котором $\angle MBA = 90^\circ$ (так как $MB \perp \alpha$). Используя теорему Пифагора, найдем длину катета $BA$ (проекции наклонной $MA$):
$BA = \sqrt{MA^2 - MB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBC$, в котором $\angle MBC = 90^\circ$. Используя теорему Пифагора, найдем длину катета $BC$ (проекции наклонной $MC$):
$BC = \sqrt{MC^2 - MB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

7. Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ — это длина их общего перпендикуляра. Поскольку $BA \perp a$, $BC \perp b$ и $a \parallel b$, то точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим прямым $a$ и $b$.

8. Из условия и рисунка 75 следует, что точка $B$ (проекция точки $M$) расположена между параллельными прямыми $a$ и $b$. Следовательно, расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно сумме длин отрезков $BA$ и $BC$.
Искомое расстояние $= BA + BC = 5$ см $+ 9$ см $= 14$ см.

Ответ: 14 см.