Номер 211, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

211. Из точки $C$, взятой внутри двугранного угла, проведен перпендикуляр $CA$ к его ребру. Расстояние от точки $C$ до одной из граней угла равно проекции отрезка $CA$ на эту грань, а проекция отрезка $CA$ на другую грань угла вдвое меньше отрезка $CA$ (рис. 84). Найдите величину двугранного угла.

Рис. 84

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, пересекающимися по прямой (ребру). Из точки $ C $, расположенной внутри этого угла, проведен перпендикуляр $ CA $ к ребру угла, где точка $ A $ лежит на ребре.

Опустим перпендикуляры из точки $ C $ на грани двугранного угла. Пусть $ CC_1 $ — перпендикуляр к плоскости $ \alpha $ (где $ C_1 \in \alpha $), а $ CC_2 $ — перпендикуляр к плоскости $ \beta $ (где $ C_2 \in \beta $). Длина отрезка $ CC_1 $ — это расстояние от точки $ C $ до грани $ \alpha $. Отрезок $ AC_1 $ является проекцией наклонной $ CA $ на грань $ \alpha $, а отрезок $ AC_2 $ — проекцией наклонной $ CA $ на грань $ \beta $.

Согласно условиям задачи:

1. Расстояние от точки $ C $ до одной из граней (пусть это будет грань $ \alpha $) равно проекции отрезка $ CA $ на эту грань. Таким образом, $ CC_1 = AC_1 $.
2. Проекция отрезка $ CA $ на другую грань (грань $ \beta $) вдвое меньше отрезка $ CA $. Таким образом, $ AC_2 = \frac{1}{2} CA $.

Величиной двугранного угла является его линейный угол. Линейный угол образуется двумя лучами, которые лежат в гранях угла, исходят из одной точки на ребре и перпендикулярны этому ребру.

По построению, $ CA \perp $ ребру. Так как $ CC_1 $ — перпендикуляр к плоскости $ \alpha $, то $ AC_1 $ — это проекция наклонной $ CA $ на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($ CA \perp $ ребру), то и ее проекция перпендикулярна этой прямой ($ AC_1 \perp $ ребру). Аналогично, для грани $ \beta $, $ AC_2 \perp $ ребру. Следовательно, угол $ \angle C_1AC_2 $ является линейным углом данного двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ACC_1 $ (угол $ \angle AC_1C = 90^\circ $, поскольку $ CC_1 \perp \alpha $). По условию катеты этого треугольника равны: $ AC_1 = CC_1 $. Это означает, что $ \triangle ACC_1 $ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $ 45^\circ $. Значит, $ \angle C_1AC = 45^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ACC_2 $ (угол $ \angle AC_2C = 90^\circ $, поскольку $ CC_2 \perp \beta $). По условию, катет $ AC_2 $ равен половине гипотенузы $ CA $: $ AC_2 = \frac{1}{2} CA $. Найдем косинус угла $ \angle C_2AC $: $ \cos(\angle C_2AC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC_2}{CA} = \frac{\frac{1}{2} CA}{CA} = \frac{1}{2} $. Из этого следует, что $ \angle C_2AC = 60^\circ $.

Так как точка $ C $ находится внутри двугранного угла, его линейный угол $ \angle C_1AC_2 $ равен сумме углов $ \angle C_1AC $ и $ \angle C_2AC $: $ \angle C_1AC_2 = \angle C_1AC + \angle C_2AC = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ $.

Ответ: $ 105^\circ $.