Номер 214, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

214. Взаимно перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $AB$. В плоскости $\alpha$ на расстоянии 60 мм от прямой $AB$ проведена параллельная ей прямая $l$. В плоскости $\beta$ на расстоянии 91 мм от прямой $AB$ отмечена точка $F$ (рис. 85). Найдите расстояние от $F$ до прямой $l$.

Рис. 85

Для решения задачи воспользуемся пространственной теоремой Пифагора, построив вспомогательный прямоугольный треугольник.

1. Пусть $C$ — точка на прямой $AB$, являющаяся основанием перпендикуляра, опущенного из точки $F$ на прямую $AB$. Поскольку точка $F$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $AB$ — линия пересечения плоскостей, то отрезок $FC$ целиком лежит в плоскости $\beta$. По условию, расстояние от точки $F$ до прямой $AB$ равно 91 мм, следовательно, длина этого перпендикуляра $FC = 91$ мм, и $FC \perp AB$.

2. Пусть $D$ — точка на прямой $l$, являющаяся основанием перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $l$. Поскольку точка $C$ (на прямой $AB$) и прямая $l$ лежат в плоскости $\alpha$, то отрезок $CD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Длина отрезка $CD$ — это расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $l$, которое по условию равно 60 мм. Таким образом, $CD = 60$ мм, и $CD \perp l$. Так как $l \parallel AB$, то $CD \perp AB$.

3. Мы имеем две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые взаимно перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$). Отрезок $FC$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярен линии пересечения плоскостей $AB$. По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $FC \perp \alpha$.

4. Поскольку прямая $FC$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, она перпендикулярна прямой $CD$, которая лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что угол между отрезками $FC$ и $CD$ прямой, то есть $\angle FCD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle FCD$ — прямоугольный.

5. Расстояние от точки $F$ до прямой $l$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $F$ на $l$. Рассмотрим наклонную $FD$ к плоскости $\alpha$. Ее проекцией на эту плоскость является отрезок $CD$. Так как проекция $CD$ перпендикулярна прямой $l$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $FD$ перпендикулярна прямой $l$. Следовательно, длина отрезка $FD$ и есть искомое расстояние.

6. Найдем длину гипотенузы $FD$ в прямоугольном треугольнике $\triangle FCD$ по теореме Пифагора. Катеты равны $FC = 91$ мм и $CD = 60$ мм. $FD^2 = FC^2 + CD^2$ $FD^2 = 91^2 + 60^2$ $FD^2 = 8281 + 3600$ $FD^2 = 11881$ $FD = \sqrt{11881} = 109$ мм.

Ответ: 109 мм.