Номер 218, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

218. В треугольной пирамиде $OPQR$ боковые ребра равны, $\angle POQ = \angle POR = 60^{\circ}$, $\angle QOR = 90^{\circ}$. Найдите величину двугранного угла $PQRO$.

Пусть длина боковых ребер пирамиды равна $a$. По условию, $OP = OQ = OR = a$.

Рассмотрим боковые грани пирамиды, которые являются треугольниками с общей вершиной $O$.

• Треугольник $OPQ$ — равнобедренный с $OP = OQ = a$ и углом при вершине $\angle POQ = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $OPQ$ является равносторонним, и его сторона $PQ$ также равна $a$.
• Аналогично, треугольник $OPR$ — равнобедренный с $OP = OR = a$ и углом при вершине $\angle POR = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $OPR$ также является равносторонним, и его сторона $PR$ равна $a$.
• Треугольник $OQR$ — равнобедренный с $OQ = OR = a$ и углом при вершине $\angle QOR = 90^\circ$. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $QR$ равна: $QR = \sqrt{OQ^2 + OR^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $PQR$, который является основанием пирамиды. Его стороны: $PQ = a$, $PR = a$, $QR = a\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$PQ^2 + PR^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$QR^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$Поскольку $PQ^2 + PR^2 = QR^2$, треугольник $PQR$ является прямоугольным равнобедренным треугольником с прямым углом при вершине $P$.

Требуется найти величину двугранного угла $PQRO$. Данная запись является нестандартной. Наиболее вероятной интерпретацией является нахождение двугранного угла при ребре $QR$, то есть угла между плоскостями основания $(PQR)$ и боковой грани $(OQR)$.

Для нахождения величины этого двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в плоскостях $(PQR)$ и $(OQR)$ проведём перпендикуляры к общему ребру $QR$ из одной точки. Пусть $M$ — середина ребра $QR$.

• В равнобедренном треугольнике $OQR$ ($OQ = OR$) медиана $OM$, проведённая к основанию $QR$, является также и высотой. Следовательно, $OM \perp QR$.
• В равнобедренном треугольнике $PQR$ ($PQ = PR$) медиана $PM$, проведённая к основанию $QR$, является также и высотой. Следовательно, $PM \perp QR$.

Таким образом, угол $\angle OMP$ является линейным углом двугранного угла при ребре $QR$. Найдём величину этого угла. Для этого рассмотрим треугольник $OMP$.

Найдём длины сторон треугольника $OMP$:

• $OP$ — боковое ребро пирамиды, $OP = a$.
• $OM$ — медиана, проведённая к гипотенузе $QR$ в прямоугольном треугольнике $OQR$. Длина медианы к гипотенузе равна половине длины гипотенузы: $OM = \frac{1}{2}QR = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• $PM$ — медиана, проведённая к гипотенузе $QR$ в прямоугольном треугольнике $PQR$. Её длина также равна половине длины гипотенузы: $PM = \frac{1}{2}QR = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь, зная все три стороны треугольника $OMP$ ($OP = a$, $OM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $PM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$), применим к нему теорему косинусов для нахождения угла $\angle OMP$:$OP^2 = OM^2 + PM^2 - 2 \cdot OM \cdot PM \cdot \cos(\angle OMP)$$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\angle OMP)$$a^2 = \frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} - 2 \cdot \frac{2a^2}{4} \cdot \cos(\angle OMP)$$a^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - a^2 \cdot \cos(\angle OMP)$$a^2 = a^2 - a^2 \cos(\angle OMP)$$0 = -a^2 \cos(\angle OMP)$

Поскольку $a \ne 0$, отсюда следует, что $\cos(\angle OMP) = 0$. Значит, $\angle OMP = 90^\circ$.

Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.

Ответ: $90^\circ$