Номер 216, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

216. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $BCD$ имеют общую боковую сторону, равную $n$, и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 86). Найдите расстояние между точками $A$ и $D$, учитывая, что основания $AB$ и $BD$ треугольников равны $m$.

Рис. 86

По условию задачи, нам даны два равнобедренных треугольника $ABC$ и $BCD$, которые лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. У них есть общая боковая сторона $BC$, длина которой равна $n$. Основания этих треугольников $AB$ и $BD$ равны $m$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB$ - основание, а $BC$ - боковая сторона, то второй боковой стороной является $AC$. Следовательно, $AC = BC = n$.

Аналогично, в треугольнике $BCD$ основанием является $BD$, а боковой стороной - $BC$. Следовательно, второй боковой стороной является $CD$, и $CD = BC = n$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, $ABC$ и $BCD$, со сторонами $AC=BC=CD=n$ и $AB=BD=m$. Эти треугольники равны по трем сторонам ($AC=CD$, $AB=BD$, $BC$ - общая).

Плоскости, в которых лежат эти треугольники, перпендикулярны и пересекаются по прямой $BC$. Чтобы найти расстояние между точками $A$ и $D$, опустим из этих точек перпендикуляры на линию пересечения плоскостей $BC$. Пусть $H$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BC$, а $K$ - основание перпендикуляра из точки $D$ на прямую $BC$.

Поскольку треугольники $ABC$ и $BCD$ равны, их высоты, проведенные к общей стороне $BC$, будут равны ($AH=DK$), и основания этих высот будут находиться на одинаковом расстоянии от точки $C$ (или $B$). Найдем положение точки $H$ на прямой $BC$. В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов для угла $C$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
$m^2 = n^2 + n^2 - 2 \cdot n \cdot n \cdot \cos(\angle ACB)$
$\cos(\angle ACB) = \frac{2n^2 - m^2}{2n^2}$

Точка $H$ является основанием высоты $AH$, поэтому треугольник $AHC$ - прямоугольный (с прямым углом $H$). Длина отрезка $CH$ является проекцией стороны $AC$ на прямую $BC$ и равна:
$CH = AC \cdot \cos(\angle ACB) = n \cdot \frac{2n^2 - m^2}{2n^2} = \frac{2n^2 - m^2}{2n}$

Так как $\triangle ABC = \triangle BCD$, то положение точки $K$ будет таким же, то есть $CK = CH$. Это означает, что точки $H$ и $K$ совпадают.

Теперь у нас есть отрезки $AH$ и $DH$, выходящие из одной точки $H$ на прямой $BC$ и перпендикулярные ей. Так как $AH$ лежит в одной плоскости, а $DH$ - в другой, и эти плоскости взаимно перпендикулярны, то угол между отрезками $AH$ и $DH$ равен $90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $AHD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

Найдем длину катета $AH$ из прямоугольного треугольника $AHC$ по теореме Пифагора:
$AH^2 = AC^2 - CH^2 = n^2 - \left(\frac{2n^2 - m^2}{2n}\right)^2 = n^2 - \frac{4n^4 - 4n^2m^2 + m^4}{4n^2}$
$AH^2 = \frac{4n^4 - (4n^4 - 4n^2m^2 + m^4)}{4n^2} = \frac{4n^2m^2 - m^4}{4n^2} = \frac{m^2(4n^2 - m^2)}{4n^2}$

Поскольку $AH = DH$, то $DH^2 = AH^2$.

Искомое расстояние $AD$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $AHD$. По теореме Пифагора:
$AD^2 = AH^2 + DH^2 = 2 \cdot AH^2 = 2 \cdot \frac{m^2(4n^2 - m^2)}{4n^2} = \frac{m^2(4n^2 - m^2)}{2n^2}$
$AD = \sqrt{\frac{m^2(4n^2 - m^2)}{2n^2}} = \frac{m\sqrt{4n^2 - m^2}}{n\sqrt{2}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получим:
$AD = \frac{m\sqrt{2(4n^2 - m^2)}}{2n}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{4n^2 - m^2}}{n\sqrt{2}}$