Номер 230, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

230*. Точки $M$ и $N$ разделяют отрезок $AB$ на три доли (рис. 88). Найдите их координаты, учитывая, что $A(-4; 3; 5)$, $B(2; -3; -1)$.

Рис. 88

По условию задачи, точки $M$ и $N$ разделяют отрезок $AB$ на три равные части, что означает $AM = MN = NB$. Следовательно, точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$, а точка $N$ делит отрезок $AB$ в отношении $2:1$.

Координаты точки $P(x; y; z)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в отношении $m:n$, находятся по формулам:
$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$
$y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$
$z = \frac{nz_1 + mz_2}{m+n}$

Известны координаты точек $A(-4; 3; 5)$ и $B(2; -3; -1)$.

Точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM:MB = 1:2$, поэтому $m=1$ и $n=2$. Вычислим ее координаты:
$x_M = \frac{2 \cdot x_A + 1 \cdot x_B}{1+2} = \frac{2 \cdot (-4) + 1 \cdot 2}{3} = \frac{-8 + 2}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
$y_M = \frac{2 \cdot y_A + 1 \cdot y_B}{1+2} = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot (-3)}{3} = \frac{6 - 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$z_M = \frac{2 \cdot z_A + 1 \cdot z_B}{1+2} = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{3} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Следовательно, координаты точки $M$: $(-2; 1; 3)$.

Ответ: $M(-2; 1; 3)$.

Точка $N$ делит отрезок $AB$ в отношении $AN:NB = 2:1$, поэтому $m=2$ и $n=1$. Вычислим ее координаты:
$x_N = \frac{1 \cdot x_A + 2 \cdot x_B}{2+1} = \frac{1 \cdot (-4) + 2 \cdot 2}{3} = \frac{-4 + 4}{3} = \frac{0}{3} = 0$
$y_N = \frac{1 \cdot y_A + 2 \cdot y_B}{2+1} = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot (-3)}{3} = \frac{3 - 6}{3} = \frac{-3}{3} = -1$
$z_N = \frac{1 \cdot z_A + 2 \cdot z_B}{2+1} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1)}{3} = \frac{5 - 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Следовательно, координаты точки $N$: $(0; -1; 1)$.

Ответ: $N(0; -1; 1)$.