Номер 236, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

236*. Определите, является ли прямоугольником четырехугольник ABCD, учитывая, что $A(2; 1; -5)$, $B(-4; -1; -6)$, $C(-5; 3; -7)$, $D(1; 5; 0)$.

Чтобы определить, является ли четырехугольник ABCD прямоугольником, нужно проверить, выполняются ли для него свойства прямоугольника. Прежде всего, прямоугольник является параллелограммом. Проверим, является ли данный четырехугольник параллелограммом.

Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что векторы его противоположных сторон равны. Для четырехугольника ABCD это означает, что должно выполняться равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, используя координаты вершин:

A(2; 1; -5), B(-4; -1; -6), C(-5; 3; -7), D(1; 5; 0).

Координаты вектора вычисляются как разность координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{-4 - 2; -1 - 1; -6 - (-5)\} = \{-6; -2; -1\}$.

Для вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = \{x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D\} = \{-5 - 1; 3 - 5; -7 - 0\} = \{-6; -2; -7\}$.

Теперь сравним полученные векторы. Векторы равны, если равны их соответствующие координаты.

$\vec{AB} = \{-6; -2; -1\}$

$\vec{DC} = \{-6; -2; -7\}$

Как мы видим, x- и y-координаты векторов совпадают, а z-координаты различны ($-1 \neq -7$). Следовательно, векторы не равны:

$\vec{AB} \neq \vec{DC}$

Поскольку условие равенства векторов противоположных сторон не выполняется, четырехугольник ABCD не является параллелограммом. А так как любой прямоугольник по определению является параллелограммом, то данный четырехугольник не может быть прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник ABCD не является прямоугольником.