Номер 242, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

242. Отметьте в тетради точки A, B, C, D, E, F так, чтобы выполнялись равенства $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{DF}$.

Для того чтобы отметить точки A, B, C, D, E, F в соответствии с заданными условиями, необходимо проанализировать оба векторных равенства.

Первое равенство: $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Это равенство означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены и равны по длине. Геометрически это означает, что четырехугольник ABDC является параллелограммом (обратите внимание на порядок вершин). То есть, отрезок AB параллелен и равен отрезку CD, а также отрезок AC параллелен и равен отрезку BD.

Второе равенство: $\vec{AB} = \vec{CE} - \vec{DF}$.

Мы можем использовать первое равенство, чтобы заменить в этом выражении вектор $\vec{AB}$ на равный ему вектор $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = \vec{CE} - \vec{DF}$

Теперь преобразуем это векторное равенство. Используем свойство вычитания векторов и правило сложения векторов (правило Шаля):

Вектор $-\vec{DF}$ равен вектору $\vec{FD}$. Тогда равенство принимает вид:

$\vec{CD} = \vec{CE} + \vec{FD}$

Воспользуемся правилом Шаля для сложения векторов. Выразим вектор $\vec{CE}$ через точку D: $\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{DE}$. Подставим это в наше уравнение:

$\vec{CD} = (\vec{CD} + \vec{DE}) + \vec{FD}$

$\vec{CD} = \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{FD}$

Вычтем из обеих частей равенства вектор $\vec{CD}$:

$\vec{0} = \vec{DE} + \vec{FD}$

Перегруппируем слагаемые:

$\vec{0} = \vec{FD} + \vec{DE}$

Сумма векторов $\vec{FD}$ и $\vec{DE}$ по правилу Шаля равна вектору $\vec{FE}$:

$\vec{FE} = \vec{0}$

Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Следовательно, точка F совпадает с точкой E.

Из проведенного анализа следует, что для выполнения заданных условий необходимо и достаточно, чтобы четырехугольник ABDC был параллелограммом, а точки E и F совпадали. Положение точки E (и, соответственно, F) может быть любым.

Алгоритм построения:

1. Отметьте в тетради три произвольные точки A, B и C, не лежащие на одной прямой.
2. Постройте вектор $\vec{AB}$.
3. От точки C отложите вектор $\vec{CD}$, равный вектору $\vec{AB}$. Для этого проведите через точку C прямую, параллельную прямой AB, и отложите на ней от точки C отрезок CD, равный по длине отрезку AB, в том же направлении, что и от A к B. Таким образом, будет построена точка D, и четырехугольник ABDC станет параллелограммом.
4. Выберите любую произвольную точку на плоскости и обозначьте ее буквой E.
5. Эту же точку обозначьте буквой F. Таким образом, точки E и F будут совпадать.

При таком расположении точек оба исходных равенства будут выполняться. Первое, $\vec{AB} = \vec{CD}$, выполняется по построению. Второе, $\vec{AB} = \vec{CE} - \vec{DF}$, превращается в $\vec{AB} = \vec{CE} - \vec{DE} = \vec{CE} + \vec{ED} = \vec{CD}$, что также является верным равенством по построению.

Ответ: Точки A, B, C, D должны образовывать параллелограмм ABDC ($\vec{AB}=\vec{CD}$), а точки E и F должны совпадать (быть одной и той же точкой), при этом их расположение на плоскости может быть любым.