Номер 239, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

239. Найдите координаты центра и радиус сферы, описанной около треугольной пирамиды $MNPQ$, вершины которой имеют координаты $M(7; -3; 6)$, $N(7; 2; 3)$, $P(-5; 2; 3)$, $Q(-5; -3; 3)$.

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x; y; z)$, а радиус сферы равен $R$. Так как сфера описана около пирамиды, то все ее вершины $M(7; -3; 6)$, $N(7; 2; 3)$, $P(-5; 2; 3)$ и $Q(-5; -3; 3)$ равноудалены от центра сферы $O$.

Это означает, что $OM = ON = OP = OQ = R$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $OM^2 = ON^2 = OP^2 = OQ^2 = R^2$.

Уравнение сферы в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра.

Составим систему уравнений, подставляя координаты вершин:

• $OM^2 = (x - 7)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 6)^2 = (x - 7)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2$
• $ON^2 = (x - 7)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$
• $OP^2 = (x - (-5))^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x + 5)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$
• $OQ^2 = (x - (-5))^2 + (y - (-3))^2 + (z - 3)^2 = (x + 5)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2$

Найдем координаты центра сферы:

1. Приравняем $ON^2$ и $OP^2$. В этих выражениях совпадают второе и третье слагаемые, что упрощает вычисления.

$(x - 7)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x + 5)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$(x - 7)^2 = (x + 5)^2$

$x^2 - 14x + 49 = x^2 + 10x + 25$

$-14x - 10x = 25 - 49$

$-24x = -24$

$x = 1$

2. Приравняем $OP^2$ и $OQ^2$.

$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x + 5)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2$

$(y - 2)^2 = (y + 3)^2$

$y^2 - 4y + 4 = y^2 + 6y + 9$

$-4y - 6y = 9 - 4$

$-10y = 5$

$y = -0,5$

3. Приравняем $OM^2$ и $ON^2$.

$(x - 7)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = (x - 7)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$(y + 3)^2 + (z - 6)^2 = (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

Подставим уже найденное значение $y = -0,5$:

$(-0,5 + 3)^2 + (z - 6)^2 = (-0,5 - 2)^2 + (z - 3)^2$

$(2,5)^2 + z^2 - 12z + 36 = (-2,5)^2 + z^2 - 6z + 9$

$6,25 + z^2 - 12z + 36 = 6,25 + z^2 - 6z + 9$

$-12z + 42,25 = -6z + 15,25$

$42,25 - 15,25 = 12z - 6z$

$27 = 6z$

$z = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Таким образом, координаты центра сферы $O(1; -0,5; 4,5)$.

Ответ: Координаты центра сферы $(1; -0,5; 4,5)$.

Найдем радиус сферы:

Радиус $R$ — это расстояние от центра $O(1; -0,5; 4,5)$ до любой из вершин. Найдем квадрат радиуса, используя, например, вершину $M(7; -3; 6)$.

$R^2 = OM^2 = (7 - 1)^2 + (-3 - (-0,5))^2 + (6 - 4,5)^2$

$R^2 = 6^2 + (-2,5)^2 + (1,5)^2$

$R^2 = 36 + 6,25 + 2,25$

$R^2 = 44,5$

$R = \sqrt{44,5}$

Ответ: Радиус сферы $R = \sqrt{44,5}$.