Номер 246, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

246. Используя рисунок 90, на котором изображены параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, центры $P$ и $Q$ граней $ABB_1$ и $CDD_1$, а также ряд векторов, обоснуйте равенство:

a) $ \vec{AP} = \vec{DQ} $;

б) $ \vec{AP} = -\vec{C_1Q} $;

в) $ \vec{AQ} = \vec{C_1P} $.

Рис. 90

а) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны и равны. Следовательно, существует параллельный перенос на вектор $\overline{AD}$, который совмещает грань $ABB_1A_1$ с гранью $DCC_1D_1$. При этом преобразовании вершины переходят следующим образом: $A \to D$, $B \to C$, $B_1 \to C_1$, $A_1 \to D_1$.
Так как параллельный перенос сохраняет геометрические отношения, центр грани $ABB_1A_1$, точка $P$, перейдет в центр грани $DCC_1D_1$, точку $Q$. Это означает, что вектор, соединяющий точку $P$ с точкой $Q$, равен вектору переноса $\overline{AD}$, то есть $\overline{PQ} = \overline{AD}$.
Рассмотрим замкнутый векторный контур $ADQP$. По правилу сложения векторов (правило многоугольника) имеем: $\overline{AD} + \overline{DQ} + \overline{QP} + \overline{PA} = \vec{0}$
Выразим $\overline{AP}$: $\overline{AP} = \overline{AD} + \overline{DQ} + \overline{QP}$
Поскольку $\overline{QP} = -\overline{PQ}$, а $\overline{PQ} = \overline{AD}$, то $\overline{QP} = -\overline{AD}$. Подставим это в предыдущее равенство: $\overline{AP} = \overline{AD} + \overline{DQ} - \overline{AD}$
$\overline{AP} = \overline{DQ}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\overline{AP} = \overline{DQ}$ обосновано, так как фигура $ADQP$ является параллелограммом ($\overline{AD} = \overline{PQ}$).

б) Точка $P$ является центром грани (параллелограмма) $ABB_1A_1$. Вектор, проведенный из вершины параллелограмма к центру, равен полусумме векторов, исходящих из этой же вершины вдоль смежных сторон. Таким образом: $\overline{AP} = \frac{1}{2}(\overline{AB} + \overline{AA_1})$.
Аналогично, точка $Q$ является центром грани $CDD_1C_1$. Выразим вектор $\overline{C_1Q}$ через векторы, исходящие из вершины $C_1$: $\overline{C_1Q} = \frac{1}{2}(\overline{C_1D_1} + \overline{C_1C})$.
В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ для векторов, соответствующих рёбрам, справедливы следующие равенства:
1) $\overline{C_1C} = -\overline{CC_1}$. Так как $AA_1C_1C$ — параллелограмм, то $\overline{CC_1} = \overline{AA_1}$. Следовательно, $\overline{C_1C} = -\overline{AA_1}$.
2) $\overline{D_1C_1} = \overline{A_1B_1} = \overline{AB}$. Следовательно, $\overline{C_1D_1} = -\overline{D_1C_1} = -\overline{AB}$.
Подставим эти выражения в формулу для $\overline{C_1Q}$: $\overline{C_1Q} = \frac{1}{2}(-\overline{AB} + (-\overline{AA_1})) = -\frac{1}{2}(\overline{AB} + \overline{AA_1})$.
Сравнивая полученное выражение с выражением для $\overline{AP}$, получаем: $\overline{AP} = -\overline{C_1Q}$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\overline{AP} = -\overline{C_1Q}$ обосновано.

в) В данном пункте, по-видимому, допущена опечатка. Равенство $\overline{AQ} = \overline{C_1P}$, указанное в условии, в общем случае неверно. Докажем, что верным является равенство $\overline{AQ} = -\overline{C_1P}$ (или, что эквивалентно, $\overline{AQ} = \overline{PC_1}$).
Для доказательства воспользуемся свойством центральной симметрии параллелепипеда. Пусть $O$ — центр симметрии параллелепипеда (точка пересечения его диагоналей). Поместим начало системы отсчета в точку $O$. Тогда для любой точки $X$ ее радиус-вектор $\overline{OX}$ будем для краткости обозначать как $\vec{X}$.
В силу симметрии, для любой вершины $X$ и противоположной ей вершины $Y$ выполняется равенство $\vec{X} = -\vec{Y}$. В частности, $\vec{A} = -\vec{C_1}$ и $\vec{P} = -\vec{Q}$, так как $P$ и $Q$ являются центрами противоположных граней $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$.
Рассмотрим векторы $\overline{AQ}$ и $\overline{C_1P}$. Выразим их через радиус-векторы их начала и конца:
$\overline{AQ} = \vec{Q} - \vec{A}$
$\overline{C_1P} = \vec{P} - \vec{C_1}$
Используя ранее установленные соотношения $\vec{P} = -\vec{Q}$ и $\vec{C_1} = -\vec{A}$, преобразуем выражение для вектора $\overline{C_1P}$:
$\overline{C_1P} = (-\vec{Q}) - (-\vec{A}) = \vec{A} - \vec{Q} = -(\vec{Q} - \vec{A})$
Так как $\vec{Q} - \vec{A} = \overline{AQ}$, получаем: $\overline{C_1P} = -\overline{AQ}$
Таким образом, мы доказали, что $\overline{AQ} = -\overline{C_1P}$. Это также означает, что четырехугольник $APC_1Q$ является параллелограммом, поскольку его диагонали $AC_1$ и $PQ$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Для параллелограмма $APC_1Q$ справедливо равенство $\overline{AQ} = \overline{PC_1}$.
Исходное равенство $\overline{AQ} = \overline{C_1P}$ могло бы выполняться только если $\overline{AQ} = -\overline{AQ}$, что возможно лишь при $\overline{AQ} = \vec{0}$, а это неверно для невырожденного параллелепипеда.
Ответ: Равенство в задании содержит опечатку. Правильное соотношение: $\overline{AQ} = -\overline{C_1P}$.