Номер 253, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

253. Учитывая, что точка $M$ — середина медианы $AD$ треугольника $ABC$, выразите вектор:

a) $\vec{MB}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{CB}$ через векторы $\vec{MB}$ и $\vec{AC}$.

а) Выразим вектор $\vec{MB}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

По правилу сложения векторов (правило треугольника) имеем: $\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}$.

По условию, точка $M$ — середина медианы $AD$. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ составляет половину вектора $\vec{AD}$, то есть $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. Вектор $\vec{MA}$ имеет то же направление, что и $\vec{AM}$, но противоположный, поэтому $\vec{MA} = -\vec{AM} = -\frac{1}{2}\vec{AD}$.

$AD$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Это значит, что точка $D$ — середина стороны $BC$. Вектор медианы выражается через векторы сторон, выходящих из той же вершины, по формуле: $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

Теперь подставим выражение для $\vec{AD}$ в формулу для $\vec{MA}$:

$\vec{MA} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = -\frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{AC}) = -\frac{1}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC}$.

Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{MA}$ в исходную формулу для $\vec{MB}$:

$\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB} = (-\frac{1}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC}) + \vec{AB}$.

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{MB} = (1 - \frac{1}{4})\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{MB} = \frac{3}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC}$.

б) Выразим вектор $\vec{CB}$ через векторы $\vec{MB}$ и $\vec{AC}$.

Сначала выразим вектор $\vec{CB}$ по правилу разности векторов: $\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$.

Из решения пункта а) у нас есть равенство: $\vec{MB} = \frac{3}{4}\vec{AB} - \frac{1}{4}\vec{AC}$.

Наша задача — подставить в формулу для $\vec{CB}$ такое выражение, которое содержит $\vec{MB}$ и $\vec{AC}$. Для этого выразим вектор $\vec{AB}$ из результата пункта а):

$\frac{3}{4}\vec{AB} = \vec{MB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$.

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$, чтобы найти $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \frac{4}{3}(\vec{MB} + \frac{1}{4}\vec{AC}) = \frac{4}{3}\vec{MB} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{4}{3}\vec{MB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$.

Теперь подставим это выражение для $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{CB}$:

$\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC} = (\frac{4}{3}\vec{MB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) - \vec{AC}$.

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{CB} = \frac{4}{3}\vec{MB} + (\frac{1}{3} - 1)\vec{AC} = \frac{4}{3}\vec{MB} - \frac{2}{3}\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{CB} = \frac{4}{3}\vec{MB} - \frac{2}{3}\vec{AC}$.