Номер 260, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

260. Определите, при каких значениях переменных $p$ и $q$ векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ с координатами $(1; -2; 3)$, $(0; 1; -3)$ и $(2; -2p; q + 1)$ соответственно являются компланарными.

Три вектора являются компланарными тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, можно вычислить как определитель матрицы, строки которой являются координатами этих векторов.

Даны векторы:

$\vec{a} = (1; -2; 3)$

$\vec{b} = (0; 1; -3)$

$\vec{c} = (2; -2p; q + 1)$

Составим матрицу из координат данных векторов и приравняем ее определитель к нулю:

$$\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\0 & 1 & -3 \\2 & -2p & q+1\end{vmatrix} = 0$$

Раскроем определитель по первой строке:

$$1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2p & q+1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 2 & q+1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -2p \end{vmatrix} = 0$$

Вычислим определители второго порядка:

$$1 \cdot (1 \cdot (q+1) - (-3) \cdot (-2p)) + 2 \cdot (0 \cdot (q+1) - (-3) \cdot 2) + 3 \cdot (0 \cdot (-2p) - 1 \cdot 2) = 0$$

Упростим выражение:

$$1 \cdot (q + 1 - 6p) + 2 \cdot (0 + 6) + 3 \cdot (0 - 2) = 0$$

$$q + 1 - 6p + 12 - 6 = 0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$q - 6p + 7 = 0$$

Это и есть условие, связывающее переменные $p$ и $q$, при котором векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются компланарными. Его можно выразить как $q = 6p - 7$.

Ответ: Векторы компланарны при всех значениях $p$ и $q$, удовлетворяющих условию $q - 6p + 7 = 0$.