Номер 261, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

261. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\varphi$, а их длины — $a$ и $b$ соответственно. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, учитывая, что:

a) $a = 2, b = 3, \varphi = 60^{\circ}$;

б) $a = 4, b = 5, \varphi = 120^{\circ}$;

в) $a = 6, b = 7, \varphi = 135^{\circ}$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\phi)$
В данной задаче длины векторов обозначены как $a$ и $b$, поэтому формула принимает вид:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot \cos(\phi)$

а) Даны значения: $a = 2$, $b = 3$, $\phi = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$
Ответ: $3$.

б) Даны значения: $a = 4$, $b = 5$, $\phi = 120^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = -10$
Ответ: $-10$.

в) Даны значения: $a = 6$, $b = 7$, $\phi = 135^\circ$. Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 7 \cdot \cos(135^\circ)$
Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 42 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -21\sqrt{2}$
Ответ: $-21\sqrt{2}$.