Номер 266, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

266. Дан параллелограмм $ABCD$. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Установите геометрический смысл равенства:

a) $(\vec{a} - \vec{b})^2 + (\vec{a} + \vec{b})^2 = 2(\vec{a}^2 + \vec{b}^2)$;

б) $(\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2$;

в) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$.

В данном параллелограмме $ABCD$ векторы сторон заданы как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Выразим векторы диагоналей через векторы сторон:

• Вектор диагонали $AC$ равен сумме векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
• Вектор диагонали $DB$ равен разности векторов сторон, выходящих из одной вершины: $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{b}$.

Также учтем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$.

Рассмотрим равенство $(\vec{a} - \vec{b})^2 + (\vec{a} + \vec{b})^2 = 2(\vec{a}^2 + \vec{b}^2)$.

Подставим в него геометрические соответствия:

$|\vec{DB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = 2(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2)$

В виде длин отрезков это равенство выглядит так:

$DB^2 + AC^2 = 2(AB^2 + AD^2)$

Это равенство является формулировкой теоремы о параллелограмме: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон (поскольку у параллелограмма противоположные стороны равны, $AB=CD$ и $AD=BC$, то $2(AB^2 + AD^2) = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$).

Данное равенство является алгебраическим тождеством, верным для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Раскроем скобки в левой части, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2) + (\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2) = 2\vec{a}^2 + 2\vec{b}^2 = 2(\vec{a}^2 + \vec{b}^2)$.

Так как это тождество, оно справедливо для любого параллелограмма.

Ответ: Данное равенство выражает свойство любого параллелограмма, согласно которому сумма квадратов длин его диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон.

Рассмотрим равенство $(\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2$.

Переведем это равенство на язык геометрии, используя длины векторов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{DB}|^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей (длины неотрицательны), получаем $AC = DB$.

Это означает, что диагонали параллелограмма равны. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Другой способ — упростить исходное векторное равенство:

$\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2$

$4\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$, откуда следует $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$ равно нулю. Это означает, что эти векторы перпендикулярны, то есть угол между смежными сторонами $AB$ и $AD$ равен 90°. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Геометрический смысл этого равенства заключается в том, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Рассмотрим равенство $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$.

Здесь мы имеем скалярное произведение векторов диагоналей:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$

Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, диагонали параллелограмма $AC$ и $DB$ перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Алгебраически, раскроем скалярное произведение по формуле разности квадратов:

$\vec{a}^2 - \vec{b}^2 = 0$

$\vec{a}^2 = \vec{b}^2$

$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$

Извлекая корень, получаем $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Это означает, что длины смежных сторон $AB$ и $AD$ равны. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: Геометрический смысл этого равенства заключается в том, что параллелограмм $ABCD$ является ромбом.