Номер 272, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

272. О векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ известно, что $\vec{b} \perp (\vec{a}-\vec{c})$ и $\vec{c} \perp (\vec{b}-\vec{a})$.

Докажите, что $\vec{a} \perp (\vec{b}-\vec{c})$.

Докажите, что $\vec{a} \perp (\vec{b} - \vec{c})$.

Два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Из условия задачи нам известно, что $\vec{b} \perp (\vec{a} - \vec{c})$. Это означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:
$\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:
$\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ (1)

Также нам дано, что $\vec{c} \perp (\vec{b} - \vec{a})$. Запишем это аналогично в виде скалярного произведения:
$\vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

Раскроем скобки и в этом выражении:
$\vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ (2)

Теперь сложим левые и правые части полученных уравнений (1) и (2):
$(\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 + 0$
$\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ для любых векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Следовательно, $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b}$.
В нашем выражении слагаемые $-\vec{b} \cdot \vec{c}$ и $+\vec{c} \cdot \vec{b}$ взаимно уничтожаются.

После упрощения получаем:
$\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

Снова используя свойство коммутативности ($\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ и $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{c}$), перепишем выражение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Применив дистрибутивное свойство в обратном порядке (вынесение общего множителя за скобки), получим:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $(\vec{b} - \vec{c})$ равно нулю, это доказывает, что эти векторы перпендикулярны.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.