Номер 277, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

277. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $C_1$ — середина отрезка $AB$. Докажите, что отрезки $OC$ и $OC_1$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда углы $A$ и $B$ отличаются на $90^\circ$.

Для доказательства этого утверждения, имеющего форму "тогда и только тогда", необходимо установить эквивалентность двух условий. Мы используем векторный метод. Поместим центр описанной окружности $O$ треугольника $ABC$ в начало координат. Пусть $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ — радиус-векторы вершин $A$, $B$, $C$. Тогда их модули равны радиусу описанной окружности $R$: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$. Точка $C_1$ является серединой отрезка $AB$, поэтому её радиус-вектор $\vec{c_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.

Условие перпендикулярности отрезков $OC$ и $OC_1$ означает, что скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{OC} = \vec{c}$ и $\vec{OC_1} = \vec{c_1}$ равно нулю. Обозначим углы треугольника при вершинах $A, B, C$ как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.$$ \vec{c} \cdot \vec{c_1} = \vec{c} \cdot \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right) = \frac{1}{2}(\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b}) = 0 $$Скалярные произведения векторов, проведенных из центра окружности к её точкам, выражаются через радиус и центральные углы: $\vec{c} \cdot \vec{a} = R^2\cos(\angle AOC) = R^2\cos(2\beta)$ и $\vec{c} \cdot \vec{b} = R^2\cos(\angle BOC) = R^2\cos(2\alpha)$. Подставив это в уравнение, получаем:$$ R^2\cos(2\alpha) + R^2\cos(2\beta) = 0 $$Для невырожденного треугольника $R \neq 0$, поэтому $\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) = 0$. Используя формулу суммы косинусов, преобразуем выражение:$$ 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) = 0 $$Так как сумма углов треугольника $\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$, то $\alpha+\beta = 180^\circ - \gamma$, и $\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma$. Итоговое условие перпендикулярности принимает вид:$$ -2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) = 0 $$

Данное равенство выполняется, если либо $\cos\gamma = 0$, либо $\cos(\alpha-\beta) = 0$.
1. $\cos\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 90^\circ$. В этом случае $AB$ — диаметр описанной окружности, и её центр $O$ совпадает с серединой $AB$, то есть с точкой $C_1$. Тогда отрезок $OC_1$ вырождается в точку.
2. $\cos(\alpha-\beta) = 0 \Rightarrow \alpha-\beta = \pm 90^\circ$, то есть $|\alpha-\beta| = 90^\circ$.

Докажем утверждение в обе стороны.
($\Rightarrow$) Пусть отрезки $OC$ и $OC_1$ перпендикулярны. В геометрии понятие перпендикулярности обычно применяется к невырожденным отрезкам (имеющим ненулевую длину). Это предположение исключает случай $O=C_1$, а значит, и случай $\gamma = 90^\circ$. Таким образом, $\cos\gamma \neq 0$. Тогда из равенства $-2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) = 0$ следует, что множитель $\cos(\alpha-\beta)$ должен быть равен нулю. Это означает, что $|\alpha-\beta| = 90^\circ$, то есть углы $A$ и $B$ отличаются на $90^\circ$.
($\Leftarrow$) Пусть углы $A$ и $B$ отличаются на $90^\circ$, то есть $|\alpha-\beta| = 90^\circ$. Тогда $\cos(\alpha-\beta)=0$. В этом случае условие $-2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) = 0$ выполняется при любом значении $\gamma$. Это означает, что скалярное произведение $\vec{OC} \cdot \vec{OC_1}$ равно нулю, и отрезки $OC$ и $OC_1$ перпендикулярны. Заметим, что если $|\alpha-\beta|=90^\circ$, то $\gamma$ не может быть равно $90^\circ$, так как из системы уравнений $|\alpha-\beta|=90^\circ$ и $\alpha+\beta=90^\circ$ (случай $\gamma=90^\circ$) следовало бы, что один из углов $\alpha$ или $\beta$ равен нулю, что невозможно для треугольника. Следовательно, отрезок $OC_1$ не является вырожденным.

Таким образом, условие перпендикулярности отрезков $OC$ и $OC_1$ эквивалентно тому, что углы $A$ и $B$ отличаются на $90^\circ$.
Ответ: Утверждение доказано.