Номер 281, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

281. В основании параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит квадрат со стороной $a$. На ребрах $AA_1$ и $BB_1$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AP = BQ = a$, на ребрах $CC_1$ и $DD_1$ — точки $R$ и $S$ так, что $CR = DS = \frac{a}{3}$ (рис. 98). Учитывая, что $\angle QAP = 60^\circ$ и $\angle QBC = 90^\circ$, найдите:

а) $AR$;

б) $DQ$;

в) $PQ$;

г) $QS$.

Рис. 98

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$. Тогда, поскольку в основании лежит квадрат со стороной $a$, координаты вершин основания будут:$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$.

Пусть $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ — вектор, соответствующий боковому ребру, например $\vec{AA_1}$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{v}$.

Рассмотрим условие $\angle QBC = 90^\circ$. Точка $Q$ лежит на ребре $BB_1$, поэтому вектор $\vec{BQ}$ коллинеарен вектору $\vec{BB_1}$ (а значит, и $\vec{v}$). Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты $C-B = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$. Условие $\angle QBC = 90^\circ$ означает, что скалярное произведение векторов, лежащих на сторонах угла, равно нулю, то есть $\vec{BQ} \cdot \vec{BC} = 0$. Так как $\vec{BQ}$ коллинеарен $\vec{v}$, то и $\vec{v} \cdot \vec{BC} = 0$.$(v_x, v_y, v_z) \cdot (0, a, 0) = 0 \Rightarrow v_y \cdot a = 0 \Rightarrow v_y = 0$. Таким образом, вектор бокового ребра имеет вид $\vec{v} = (v_x, 0, v_z)$.

Пусть $\hat{u}$ — единичный вектор в направлении боковых ребер. Тогда $\hat{u} = (u_x, 0, u_z)$, где $u_x^2 + u_z^2 = 1$. По условию $AP = a$, значит, вектор $\vec{AP} = a\hat{u} = (au_x, 0, au_z)$. Координаты точки $P$: $P(au_x, 0, au_z)$. По условию $BQ = a$, значит, вектор $\vec{BQ} = a\hat{u}$. Найдем координаты точки $Q$: $Q = B + \vec{BQ} = (a, 0, 0) + (au_x, 0, au_z) = (a(1+u_x), 0, au_z)$.

Теперь используем условие $\angle QAP = 60^\circ$. Это угол между векторами $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$.$\vec{AP} = (au_x, 0, au_z)$.$\vec{AQ} = Q - A = (a(1+u_x), 0, au_z)$. Найдем их скалярное произведение:$\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = (au_x)(a(1+u_x)) + 0 \cdot 0 + (au_z)(au_z) = a^2 u_x (1+u_x) + a^2 u_z^2 = a^2(u_x + u_x^2 + u_z^2)$. Так как $u_x^2 + u_z^2 = 1$, то $\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = a^2(u_x + 1)$. Найдем модули векторов:$|\vec{AP}| = a$.$|\vec{AQ}|^2 = (a(1+u_x))^2 + (au_z)^2 = a^2((1+u_x)^2 + u_z^2) = a^2(1 + 2u_x + u_x^2 + u_z^2) = a^2(1 + 2u_x + 1) = a^2(2+2u_x)$.$|\vec{AQ}| = a\sqrt{2(1+u_x)}$. По формуле скалярного произведения:$\vec{AP} \cdot \vec{AQ} = |\vec{AP}| |\vec{AQ}| \cos(60^\circ)$.$a^2(1+u_x) = a \cdot a\sqrt{2(1+u_x)} \cdot \frac{1}{2}$.$a^2(1+u_x) = \frac{a^2}{2}\sqrt{2(1+u_x)}$. Пусть $X = 1+u_x$. Тогда $X = \frac{1}{2}\sqrt{2X}$. Возведем в квадрат: $X^2 = \frac{1}{4}(2X) = \frac{X}{2}$.$X^2 - \frac{X}{2} = 0 \Rightarrow X(X - \frac{1}{2}) = 0$.$X=0$ или $X=1/2$. Если $X=0$, то $1+u_x=0 \Rightarrow u_x=-1$. Тогда $u_z=0$, и вектор $\vec{AQ}$ будет нулевым, что невозможно. Следовательно, $X=1/2$, то есть $1+u_x = 1/2 \Rightarrow u_x = -1/2$. Тогда $u_z^2 = 1 - u_x^2 = 1 - (-1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4$. Из рисунка видно, что параллелепипед направлен вверх, поэтому выберем $u_z = \sqrt{3}/2$. Итак, единичный вектор бокового ребра $\hat{u} = (-\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Теперь найдем координаты нужных нам точек:$P = a\hat{u} = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.$Q = (a(1-\frac{1}{2}), 0, \frac{a\sqrt{3}}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.$R$: $CR = a/3$, значит $\vec{CR} = \frac{a}{3}\hat{u} = (-\frac{a}{6}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{6})$.$R = C + \vec{CR} = (a, a, 0) + (-\frac{a}{6}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{6}) = (\frac{5a}{6}, a, \frac{a\sqrt{3}}{6})$.$S$: $DS = a/3$, значит $\vec{DS} = \frac{a}{3}\hat{u} = (-\frac{a}{6}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{6})$.$S = D + \vec{DS} = (0, a, 0) + (-\frac{a}{6}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{6}) = (-\frac{a}{6}, a, \frac{a\sqrt{3}}{6})$.

а) AR;

Найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $R(\frac{5a}{6}, a, \frac{a\sqrt{3}}{6})$.$AR^2 = (\frac{5a}{6}-0)^2 + (a-0)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{6}-0)^2 = \frac{25a^2}{36} + a^2 + \frac{3a^2}{36} = \frac{25a^2 + 36a^2 + 3a^2}{36} = \frac{64a^2}{36} = \frac{16a^2}{9}$.$AR = \sqrt{\frac{16a^2}{9}} = \frac{4a}{3}$.
Ответ: $\frac{4a}{3}$.

б) DQ;

Найдем расстояние между точками $D(0, a, 0)$ и $Q(\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.$DQ^2 = (\frac{a}{2}-0)^2 + (0-a)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2}-0)^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{3a^2}{4} = \frac{a^2+4a^2+3a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} = 2a^2$.$DQ = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Ответ: $a\sqrt{2}$.

в) PQ;

Найдем расстояние между точками $P(-\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ и $Q(\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$.$PQ^2 = (\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}))^2 + (0-0)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = a^2 + 0 + 0 = a^2$.$PQ = \sqrt{a^2} = a$.
Ответ: $a$.

г) QS.

Найдем расстояние между точками $Q(\frac{a}{2}, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ и $S(-\frac{a}{6}, a, \frac{a\sqrt{3}}{6})$.$QS^2 = (-\frac{a}{6} - \frac{a}{2})^2 + (a-0)^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2$.$x$-компонента: $-\frac{a}{6} - \frac{3a}{6} = -\frac{4a}{6} = -\frac{2a}{3}$.$z$-компонента: $\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{3a\sqrt{3}}{6} = -\frac{2a\sqrt{3}}{6} = -\frac{a\sqrt{3}}{3}$.$QS^2 = (-\frac{2a}{3})^2 + a^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{4a^2}{9} + a^2 + \frac{3a^2}{9} = \frac{4a^2 + 9a^2 + 3a^2}{9} = \frac{16a^2}{9}$.$QS = \sqrt{\frac{16a^2}{9}} = \frac{4a}{3}$.
Ответ: $\frac{4a}{3}$.