Номер 279, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

279. Вершины C, D, B и $C_1$ прямоугольного параллелепипеда имеют координаты $(0; 0; 0)$, $(6; 0; 0)$, $(0; 10; 0)$ и $(0; 0; 8)$ соответственно, точки $P$ и $Q$ — центры граней $ADD_1$ и $A_1B_1C_1$ (рис. 97). Найдите:

а) скалярное произведение векторов

$\vec{CD} \cdot \vec{CD_1}$; $\vec{CB} \cdot \vec{AQ}$; $\vec{QB} \cdot \vec{AP}$; $\vec{B_1P} \cdot \vec{C_1Q}$; $\vec{QD_1} \cdot \vec{AQ}$;

б) длины векторов

$\vec{AP}$, $\vec{B_1P}$, $\vec{C_1Q}$, $\vec{QD}$, $\vec{PQ}$, $\vec{PD_1}$, $\vec{PB}$;

в) косинус угла между векторами

$\vec{CD}$ и $\vec{CD_1}$; $\vec{CB}$ и $\vec{AQ}$; $\vec{QB}$ и $\vec{AP}$; $\vec{B_1P}$ и $\vec{C_1Q}$; $\vec{QD_1}$ и $\vec{AQ}$.

Рис. 97

Для решения задачи сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда, а также точек P и Q.

По условию даны координаты вершин: C(0; 0; 0), D(6; 0; 0), B(0; 10; 0) и C₁(0; 0; 8). Так как это прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат, координаты остальных вершин будут:

• A: (6; 10; 0) (так как $\vec{OA} = \vec{OD} + \vec{OB}$)
• D₁: (6; 0; 8) (так как $\vec{OD_1} = \vec{OD} + \vec{OC_1}$)
• B₁: (0; 10; 8) (так как $\vec{OB_1} = \vec{OB} + \vec{OC_1}$)
• A₁: (6; 10; 8) (так как $\vec{OA_1} = \vec{OD} + \vec{OB} + \vec{OC_1}$)

Точка P — центр грани ADD₁A₁. Ее координаты — это среднее арифметическое координат вершин этой грани, например, A(6; 10; 0) и D₁(6; 0; 8): $P = \left(\frac{6+6}{2}; \frac{10+0}{2}; \frac{0+8}{2}\right) = (6; 5; 4)$.

Точка Q — центр грани A₁B₁C₁D₁. Ее координаты — это среднее арифметическое координат вершин этой грани, например, A₁(6; 10; 8) и C₁(0; 0; 8): $Q = \left(\frac{6+0}{2}; \frac{10+0}{2}; \frac{8+8}{2}\right) = (3; 5; 8)$.

Теперь найдем координаты векторов, необходимых для решения. Координаты вектора $\vec{XY}$ равны разности координат его конца Y и начала X.

• $\vec{CD} = (6-0; 0-0; 0-0) = (6; 0; 0)$
• $\vec{CD_1} = (6-0; 0-0; 8-0) = (6; 0; 8)$
• $\vec{CB} = (0-0; 10-0; 0-0) = (0; 10; 0)$
• $\vec{AQ} = (3-6; 5-10; 8-0) = (-3; -5; 8)$
• $\vec{QB} = (0-3; 10-5; 0-8) = (-3; 5; -8)$
• $\vec{AP} = (6-6; 5-10; 4-0) = (0; -5; 4)$
• $\vec{B_1P} = (6-0; 5-10; 4-8) = (6; -5; -4)$
• $\vec{C_1Q} = (3-0; 5-0; 8-8) = (3; 5; 0)$
• $\vec{QD_1} = (6-3; 0-5; 8-8) = (3; -5; 0)$
• $\vec{QD} = (6-3; 0-5; 0-8) = (3; -5; -8)$
• $\vec{PQ} = (3-6; 5-5; 8-4) = (-3; 0; 4)$
• $\vec{PD_1} = (6-6; 0-5; 8-4) = (0; -5; 4)$
• $\vec{PB} = (0-6; 10-5; 0-4) = (-6; 5; -4)$

а) скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}=(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

• $\vec{CD} \cdot \vec{CD_1} = 6 \cdot 6 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 8 = 36$
• $\vec{CB} \cdot \vec{AQ} = 0 \cdot (-3) + 10 \cdot (-5) + 0 \cdot 8 = -50$
• $\vec{QB} \cdot \vec{AP} = (-3) \cdot 0 + 5 \cdot (-5) + (-8) \cdot 4 = 0 - 25 - 32 = -57$
• $\vec{B_1P} \cdot \vec{C_1Q} = 6 \cdot 3 + (-5) \cdot 5 + (-4) \cdot 0 = 18 - 25 = -7$
• $\vec{QD_1} \cdot \vec{AQ} = 3 \cdot (-3) + (-5) \cdot (-5) + 0 \cdot 8 = -9 + 25 = 16$

Ответ: $\vec{CD} \cdot \vec{CD_1} = 36$; $\vec{CB} \cdot \vec{AQ} = -50$; $\vec{QB} \cdot \vec{AP} = -57$; $\vec{B_1P} \cdot \vec{C_1Q} = -7$; $\vec{QD_1} \cdot \vec{AQ} = 16$.

б) длины векторов

Длина (модуль) вектора $\vec{a}=(x; y; z)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

• $|\vec{AP}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$
• $|\vec{B_1P}| = \sqrt{6^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+25+16} = \sqrt{77}$
• $|\vec{C_1Q}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
• $|\vec{QD}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{9+25+64} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$
• $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
• $|\vec{PD_1}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$
• $|\vec{PB}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+25+16} = \sqrt{77}$

Ответ: $|\vec{AP}| = \sqrt{41}$; $|\vec{B_1P}| = \sqrt{77}$; $|\vec{C_1Q}| = \sqrt{34}$; $|\vec{QD}| = 7\sqrt{2}$; $|\vec{PQ}| = 5$; $|\vec{PD_1}| = \sqrt{41}$; $|\vec{PB}| = \sqrt{77}$.

в) косинус угла между векторами

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

• $\cos(\widehat{\vec{CD}, \vec{CD_1}}) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{CD_1}}{|\vec{CD}| \cdot |\vec{CD_1}|} = \frac{36}{\sqrt{6^2} \cdot \sqrt{6^2+8^2}} = \frac{36}{6 \cdot \sqrt{100}} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$
• $\cos(\widehat{\vec{CB}, \vec{AQ}}) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{AQ}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{AQ}|} = \frac{-50}{\sqrt{10^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+(-5)^2+8^2}} = \frac{-50}{10 \cdot \sqrt{9+25+64}} = \frac{-50}{10\sqrt{98}} = \frac{-5}{7\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{14}$
• $\cos(\widehat{\vec{QB}, \vec{AP}}) = \frac{\vec{QB} \cdot \vec{AP}}{|\vec{QB}| \cdot |\vec{AP}|} = \frac{-57}{|\vec{QB}| \cdot |\vec{AP}|} = \frac{-57}{\sqrt{98} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-57}{7\sqrt{2} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-57}{7\sqrt{82}} = -\frac{57\sqrt{82}}{574}$
• $\cos(\widehat{\vec{B_1P}, \vec{C_1Q}}) = \frac{\vec{B_1P} \cdot \vec{C_1Q}}{|\vec{B_1P}| \cdot |\vec{C_1Q}|} = \frac{-7}{\sqrt{77} \cdot \sqrt{34}} = \frac{-7}{\sqrt{2618}}$
• $\cos(\widehat{\vec{QD_1}, \vec{AQ}}) = \frac{\vec{QD_1} \cdot \vec{AQ}}{|\vec{QD_1}| \cdot |\vec{AQ}|} = \frac{16}{\sqrt{3^2+(-5)^2} \cdot \sqrt{98}} = \frac{16}{\sqrt{34} \cdot 7\sqrt{2}} = \frac{16}{7\sqrt{68}} = \frac{16}{7 \cdot 2\sqrt{17}} = \frac{8}{7\sqrt{17}} = \frac{8\sqrt{17}}{119}$

Ответ: $\cos(\widehat{\vec{CD}, \vec{CD_1}}) = \frac{3}{5}$; $\cos(\widehat{\vec{CB}, \vec{AQ}}) = -\frac{5\sqrt{2}}{14}$; $\cos(\widehat{\vec{QB}, \vec{AP}}) = -\frac{57\sqrt{82}}{574}$; $\cos(\widehat{\vec{B_1P}, \vec{C_1Q}}) = -\frac{7}{\sqrt{2618}}$; $\cos(\widehat{\vec{QD_1}, \vec{AQ}}) = \frac{8\sqrt{17}}{119}$.