Номер 258, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

258. Определите, в каком отношении плоскость $x - 3y + 2z - 2 = 0$ разделяет отрезок $AB$, учитывая, что:

a) $A(-5; 3; -3)$, $B(-2; -4; 2)$;

б) $A(-3; -4; -8)$, $B(1; 2; -2)$.

Для определения отношения, в котором плоскость делит отрезок, можно использовать следующую формулу. Пусть точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$, то есть $\vec{AM} = \lambda \vec{MB}$. Если точка $M$ является точкой пересечения отрезка $AB$ с плоскостью, заданной уравнением $F(x, y, z) = Ax + By + Cz + D = 0$, то отношение $\lambda$ можно найти по формуле:

$\lambda = -\frac{F(A)}{F(B)} = -\frac{Ax_A + By_A + Cz_A + D}{Ax_B + By_B + Cz_B + D}$

где $(x_A, y_A, z_A)$ и $(x_B, y_B, z_B)$ — координаты точек A и B.

Если $\lambda > 0$, то точка пересечения лежит между точками A и B (внутреннее деление). Если $\lambda < 0$, то точка пересечения лежит на прямой AB, но вне отрезка AB (внешнее деление).

Даны точки $A(-5; 3; -3)$, $B(-2; -4; 2)$ и плоскость $x - 3y + 2z - 2 = 0$.

Сначала вычислим значение выражения $F(x, y, z) = x - 3y + 2z - 2$ для координат точки A:

$F(A) = (-5) - 3(3) + 2(-3) - 2 = -5 - 9 - 6 - 2 = -22$

Теперь вычислим значение для координат точки B:

$F(B) = (-2) - 3(-4) + 2(2) - 2 = -2 + 12 + 4 - 2 = 12$

Найдем отношение $\lambda$:

$\lambda = -\frac{F(A)}{F(B)} = -\frac{-22}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$

Поскольку $\lambda = 11/6 > 0$, плоскость пересекает отрезок AB между точками A и B. Отношение, в котором плоскость делит отрезок AB, считая от точки A, равно $11:6$.

Ответ: $11:6$.

Даны точки $A(-3; -4; -8)$, $B(1; 2; -2)$ и плоскость $x - 3y + 2z - 2 = 0$.

Вычислим значение выражения $F(x, y, z) = x - 3y + 2z - 2$ для координат точки A:

$F(A) = (-3) - 3(-4) + 2(-8) - 2 = -3 + 12 - 16 - 2 = -9$

Вычислим значение для координат точки B:

$F(B) = (1) - 3(2) + 2(-2) - 2 = 1 - 6 - 4 - 2 = -11$

Найдем отношение $\lambda$:

$\lambda = -\frac{F(A)}{F(B)} = -\frac{-9}{-11} = -\frac{9}{11}$

Поскольку $\lambda = -9/11 < 0$, плоскость пересекает прямую AB вне отрезка AB. Это означает, что плоскость делит отрезок AB внешним образом в отношении $9:11$. Знак "минус" указывает на внешнее деление.

Ответ: $-9:11$.