Номер 248, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

248. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершины $C, D, B$ и $C_1$ имеют координаты $(0; 0; 0)$, $(6; 0; 0)$, $(0; 10; 0)$ и $(0; 0; 8)$ соответственно. Учитывая данные, приведенные на рисунке 92, найдите координаты:

а) векторов $\vec{CD}, \vec{CC_1}, \vec{CB}, \vec{CA}, \vec{CD_1}$;

б) векторов $\vec{AP}, \vec{B_1P}, \vec{C_1Q}, \vec{QD_1}, \vec{AQ}, \vec{PD_1}, \vec{QB}$;

в) суммы векторов $\vec{AP} + \vec{QB}; \vec{B_1P} + \vec{AQ}; \vec{C_1Q} + \vec{PD_1}; \vec{QD_1} + \vec{B_1P}$.

Рис. 92

Для решения задачи сначала найдем координаты всех вершин прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и точек $P$ и $Q$.

Даны координаты вершин: $C(0; 0; 0)$, $D(6; 0; 0)$, $B(0; 10; 0)$ и $C_1(0; 0; 8)$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его ребра параллельны осям координат. Координаты остальных вершин можно найти, используя векторные соотношения:

• $\overline{CA} = \overline{CB} + \overline{CD}$. Координаты точки $A$ равны сумме координат векторов $\overline{CB}\{0; 10; 0\}$ и $\overline{CD}\{6; 0; 0\}$, т.е. $A(6; 10; 0)$.
• $\overline{DD_1} = \overline{CC_1}$. Точка $D_1$ имеет координаты $D_1(6; 0; 8)$.
• $\overline{BB_1} = \overline{CC_1}$. Точка $B_1$ имеет координаты $B_1(0; 10; 8)$.
• $\overline{AA_1} = \overline{CC_1}$. Точка $A_1$ имеет координаты $A_1(6; 10; 8)$.

Теперь найдем координаты точек $P$ и $Q$. Из рисунка видно, что:

• Точка $P$ — середина диагонали $CB_1$. Ее координаты: $P\left(\frac{0+0}{2}; \frac{0+10}{2}; \frac{0+8}{2}\right) = P(0; 5; 4)$.
• Точка $Q$ — середина ребра $C_1B_1$. Ее координаты: $Q\left(\frac{0+0}{2}; \frac{0+10}{2}; \frac{8+8}{2}\right) = Q(0; 5; 8)$.

Координаты вектора $\overline{MN}$ с началом в точке $M(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $N(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются по формуле $\overline{MN}\{x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1\}$.

а) Найдем координаты векторов $\overline{CD}$, $\overline{CC_1}$, $\overline{CB}$, $\overline{CA}$, $\overline{CD_1}$

• $\overline{CD} = \{6-0; 0-0; 0-0\} = \{6; 0; 0\}$
• $\overline{CC_1} = \{0-0; 0-0; 8-0\} = \{0; 0; 8\}$
• $\overline{CB} = \{0-0; 10-0; 0-0\} = \{0; 10; 0\}$
• $\overline{CA} = \{6-0; 10-0; 0-0\} = \{6; 10; 0\}$
• $\overline{CD_1} = \{6-0; 0-0; 8-0\} = \{6; 0; 8\}$

Ответ: $\overline{CD}\{6; 0; 0\}$, $\overline{CC_1}\{0; 0; 8\}$, $\overline{CB}\{0; 10; 0\}$, $\overline{CA}\{6; 10; 0\}$, $\overline{CD_1}\{6; 0; 8\}$.

б) Найдем координаты векторов $\overline{AP}$, $\overline{B_1P}$, $\overline{C_1Q}$, $\overline{QD_1}$, $\overline{AQ}$, $\overline{PD_1}$, $\overline{QB}$

• $\overline{AP} = \{0-6; 5-10; 4-0\} = \{-6; -5; 4\}$
• $\overline{B_1P} = \{0-0; 5-10; 4-8\} = \{0; -5; -4\}$
• $\overline{C_1Q} = \{0-0; 5-0; 8-8\} = \{0; 5; 0\}$
• $\overline{QD_1} = \{6-0; 0-5; 8-8\} = \{6; -5; 0\}$
• $\overline{AQ} = \{0-6; 5-10; 8-0\} = \{-6; -5; 8\}$
• $\overline{PD_1} = \{6-0; 0-5; 8-4\} = \{6; -5; 4\}$
• $\overline{QB} = \{0-0; 10-5; 0-8\} = \{0; 5; -8\}$

Ответ: $\overline{AP}\{-6; -5; 4\}$, $\overline{B_1P}\{0; -5; -4\}$, $\overline{C_1Q}\{0; 5; 0\}$, $\overline{QD_1}\{6; -5; 0\}$, $\overline{AQ}\{-6; -5; 8\}$, $\overline{PD_1}\{6; -5; 4\}$, $\overline{QB}\{0; 5; -8\}$.

в) Найдем координаты сумм векторов

• $\overline{AP} + \overline{QB} = \{-6; -5; 4\} + \{0; 5; -8\} = \{-6+0; -5+5; 4-8\} = \{-6; 0; -4\}$
• $\overline{B_1P} + \overline{AQ} = \{0; -5; -4\} + \{-6; -5; 8\} = \{0-6; -5-5; -4+8\} = \{-6; -10; 4\}$
• $\overline{C_1Q} + \overline{PD_1} = \{0; 5; 0\} + \{6; -5; 4\} = \{0+6; 5-5; 0+4\} = \{6; 0; 4\}$
• $\overline{QD_1} + \overline{B_1P} = \{6; -5; 0\} + \{0; -5; -4\} = \{6+0; -5-5; 0-4\} = \{6; -10; -4\}$

Ответ: $\overline{AP} + \overline{QB} \{-6; 0; -4\}$; $\overline{B_1P} + \overline{AQ} \{-6; -10; 4\}$; $\overline{C_1Q} + \overline{PD_1} \{6; 0; 4\}$; $\overline{QD_1} + \overline{B_1P} \{6; -10; -4\}$.