Номер 247, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

247. Используя рисунок 91, на котором изображены параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, центры $P$ и $Q$ граней $ABB_1$ и $CDD_1$ и ряд векторов, найдите сумму векторов:

а) $\overline{C_1Q}$ и $\overline{AP}$;

б) $\overline{AP}$ и $\overline{QD_1}$;

в) $\overline{AQ}$ и $\overline{B_1P}$;

г) $\overline{AP}$ и $\overline{AQ}$;

д) $\overline{AQ}$ и $\overline{PD_1}$;

е) $\overline{QB}$ и $\overline{QD_1}$.

Рис. 91

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины $A$: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Точка $P$ — центр грани $ABB_1A_1$, поэтому она является серединой диагонали $AB_1$. Вектор $\vec{AP}$ можно выразить как половину вектора диагонали:$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BB_1}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$.

Точка $Q$ — центр грани $CDD_1C_1$. Вектор $\vec{AQ}$ можно выразить, пройдя по ломаной из точки $A$ в точку $Q$. Например, по маршруту $A \rightarrow D \rightarrow Q$:$\vec{AQ} = \vec{AD} + \vec{DQ}$. Поскольку $Q$ — центр грани $CDD_1C_1$, то вектор $\vec{DQ}$ равен полусумме векторов, идущих из $D$ к двум противоположным вершинам грани, например $C$ и $D_1$. $\vec{DQ} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{DD_1})$. Учитывая, что $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$, получаем:$\vec{AQ} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$.

Теперь, используя эти выражения, найдем суммы векторов для каждого пункта.

а) $\vec{C_1Q}$ и $\vec{AP}$

Найдем вектор $\vec{C_1Q}$. Точка $Q$ является серединой диагонали $C_1D$. Следовательно, $\vec{C_1Q} = \frac{1}{2}\vec{C_1D}$. Выразим вектор $\vec{C_1D}$ через базисные векторы: $\vec{C_1D} = \vec{C_1D_1} + \vec{D_1D}$. Так как $\vec{C_1D_1} = \vec{BA} = -\vec{AB}$ и $\vec{D_1D} = -\vec{AA_1}$, то $\vec{C_1D} = -\vec{AB} - \vec{AA_1}$. Таким образом, $\vec{C_1Q} = \frac{1}{2}(-\vec{AB} - \vec{AA_1}) = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$. Складываем векторы:$\vec{C_1Q} + \vec{AP} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.

б) $\vec{AP}$ и $\vec{QD_1}$

Имеем $\vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$. Найдем вектор $\vec{QD_1}$. Точка $Q$ является серединой диагонали $CD_1$. Следовательно, $\vec{QD_1} = \frac{1}{2}\vec{CD_1}$. Выразим вектор $\vec{CD_1}$: $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1}$. Таким образом, $\vec{QD_1} = \frac{1}{2}(-\vec{AB} + \vec{AA_1})$. Найдем сумму векторов:$\vec{AP} + \vec{QD_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) + \frac{1}{2}(-\vec{AB} + \vec{AA_1}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AA_1} - \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \vec{AA_1}$.

Ответ: $\vec{AA_1}$.

в) $\vec{AQ}$ и $\vec{B_1P}$

Имеем $\vec{AQ} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$. Найдем вектор $\vec{B_1P}$. Точка $P$ является серединой диагонали $A_1B$ и $AB_1$. Воспользуемся последним.$\vec{B_1P} = \frac{1}{2}\vec{B_1A} = -\frac{1}{2}\vec{AB_1} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BB_1}) = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$. Найдем сумму векторов:$\vec{AQ} + \vec{B_1P} = \left(\vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\right) + \left(-\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\right) = \vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$.

г) $\vec{AP}$ и $\vec{AQ}$

Используем ранее найденные выражения:$\vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$$\vec{AQ} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$Найдем сумму векторов:$\vec{AP} + \vec{AQ} = \left(\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\right) + \left(\vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\right) = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$. Этот вектор является диагональю параллелепипеда, выходящей из вершины A:$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1}$.

д) $\vec{AQ}$ и $\vec{PD_1}$

Имеем $\vec{AQ} = \vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$. Найдем вектор $\vec{PD_1}$ по правилу треугольника: $\vec{PD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AP}$.$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$.$\vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})$.$\vec{PD_1} = (\vec{AD} + \vec{AA_1}) - \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1}) = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$. Найдем сумму векторов:$\vec{AQ} + \vec{PD_1} = \left(\vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\right) + \left(-\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}\right) = 2\vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $2\vec{AD} + \vec{AA_1}$.

е) $\vec{QB}$ и $\vec{QD_1}$

Сумма векторов, исходящих из одной точки, равна удвоенному вектору, проведенному из этой точки в середину отрезка, соединяющего концы данных векторов. То есть, $\vec{QB} + \vec{QD_1} = 2\vec{QM}$, где M - середина диагонали $BD_1$. Найдем положение точки M. Точка M является центром параллелепипеда (серединой диагонали $AC_1$).Вектор $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1})$. Теперь найдем вектор $\vec{QM}$ как разность $\vec{AM} - \vec{AQ}$:$\vec{QM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) - \left(\vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AA_1})\right) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1} - \vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} = -\frac{1}{2}\vec{AD}$. Тогда искомая сумма равна: $2\vec{QM} = 2\left(-\frac{1}{2}\vec{AD}\right) = -\vec{AD}$. Вектор $-\vec{AD}$ равен вектору $\vec{DA}$.

Ответ: $\vec{DA}$.