Номер 228, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

228. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны координаты его центра $Q$ и трех вершин: $Q(1; 3; 5)$, $A(-2; 1; -3)$, $B(-1; 2; -1)$, $D(1; 1; -2)$. Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда.

Центр симметрии параллелепипеда $Q$ является серединой его больших диагоналей, которые соединяют противолежащие вершины. Даны координаты центра $Q(1; 3; 5)$ и трех вершин: $A(-2; 1; -3)$, $B(-1; 2; -1)$, $D(1; 1; -2)$. Необходимо найти координаты остальных вершин: $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$.

1. Нахождение координат вершины C

Вершины $A, B, C, D$ образуют основание параллелепипеда, которое является параллелограммом. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам. Это свойство можно записать в виде векторного равенства: $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$. Отсюда можно выразить координаты вершины $C$:

$\vec{C} = \vec{B} + \vec{D} - \vec{A}$

Подставим известные координаты вершин $A$, $B$ и $D$:

$x_C = x_B + x_D - x_A = -1 + 1 - (-2) = 2$

$y_C = y_B + y_D - y_A = 2 + 1 - 1 = 2$

$z_C = z_B + z_D - z_A = -1 + (-2) - (-3) = -3 + 3 = 0$

Таким образом, координаты вершины $C$ — $(2; 2; 0)$.

Ответ: $C(2; 2; 0)$.

2. Нахождение координат вершин верхнего основания

Координаты противолежащей вершины $M_2$ для известной вершины $M_1$ можно найти, используя формулу середины отрезка для центра $Q$: $Q = \frac{M_1 + M_2}{2}$, откуда следует $M_2 = 2Q - M_1$.

Пары противолежащих вершин в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ это $(A, C_1)$, $(B, D_1)$, $(C, A_1)$, и $(D, B_1)$.

Координаты вершины $C_1$ (противолежащей $A$)

$\vec{C_1} = 2\vec{Q} - \vec{A}$

$x_{C_1} = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$

$y_{C_1} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$

$z_{C_1} = 2 \cdot 5 - (-3) = 10 + 3 = 13$

Ответ: $C_1(4; 5; 13)$.

Координаты вершины $D_1$ (противолежащей $B$)

$\vec{D_1} = 2\vec{Q} - \vec{B}$

$x_{D_1} = 2 \cdot 1 - (-1) = 2 + 1 = 3$

$y_{D_1} = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$

$z_{D_1} = 2 \cdot 5 - (-1) = 10 + 1 = 11$

Ответ: $D_1(3; 4; 11)$.

Координаты вершины $B_1$ (противолежащей $D$)

$\vec{B_1} = 2\vec{Q} - \vec{D}$

$x_{B_1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$

$y_{B_1} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$

$z_{B_1} = 2 \cdot 5 - (-2) = 10 + 2 = 12$

Ответ: $B_1(1; 5; 12)$.

Координаты вершины $A_1$ (противолежащей $C$)

$\vec{A_1} = 2\vec{Q} - \vec{C}$

$x_{A_1} = 2 \cdot 1 - 2 = 0$

$y_{A_1} = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$

$z_{A_1} = 2 \cdot 5 - 0 = 10$

Ответ: $A_1(0; 4; 10)$.