Номер 167, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

167*. В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро основания равно $a$, а боковое ребро — $b$. Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B_1$ до плоскости $(ACD_1)$ воспользуемся методом, сводящим трёхмерную задачу к двухмерной, через использование перпендикулярных плоскостей.

Сначала рассмотрим диагональную плоскость $(BDD_1B_1)$, которая проходит через точку $B_1$. Докажем, что она перпендикулярна плоскости $(ACD_1)$. В основании правильной призмы лежит квадрат $ABCD$, поэтому его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как призма правильная, её боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть $DD_1 \perp (ABCD)$, а значит $DD_1 \perp AC$. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $(BDD_1B_1)$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $(BDD_1B_1)$. Плоскость $(ACD_1)$ содержит прямую $AC$, следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, $(ACD_1) \perp (BDD_1B_1)$.

Искомое расстояние от точки $B_1$, лежащей в плоскости $(BDD_1B_1)$, до плоскости $(ACD_1)$ равно расстоянию от точки $B_1$ до линии пересечения этих плоскостей. Линией пересечения является прямая $D_1O$, где $O$ — центр основания $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B_1$ до прямой $D_1O$ в плоскости прямоугольника $BDD_1B_1$.

Рассмотрим прямоугольник $BDD_1B_1$. Его стороны равны диагонали основания $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ и боковому ребру $DD_1 = b$. Точка $O$ — середина стороны $BD$. Пусть $h$ — искомое расстояние, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на прямую $D_1O$.

Продолжим прямую $D_1O$ до пересечения с прямой $BB_1$ в точке $K$. Рассмотрим треугольники $\triangle D_1DO$ и $\triangle KBO$. Они равны по катету и острому углу:$DO = BO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (как половины диагонали),$\angle D_1DO = \angle KBO = 90^\circ$ (так как боковые рёбра перпендикулярны основанию),и $\angle D_1OD = \angle KOB$ (как вертикальные углы).Из равенства треугольников ($\triangle D_1DO \cong \triangle KBO$) следует, что $KB = D_1D = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle D_1B_1K$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания, а значит, и прямой $D_1B_1$, лежащей в этой плоскости ($D_1B_1 \perp BB_1$). Длины его катетов:

$D_1B_1 = DB = a\sqrt{2}$

$B_1K = B_1B + BK = b + b = 2b$

Искомое расстояние $h$ является высотой этого прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла $B_1$ к гипотенузе $D_1K$.

Длина гипотенузы $D_1K$ по теореме Пифагора равна:

$D_1K = \sqrt{(D_1B_1)^2 + (B_1K)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (2b)^2} = \sqrt{2a^2 + 4b^2} = \sqrt{2(a^2 + 2b^2)}$.

Площадь треугольника $\triangle D_1B_1K$ можно выразить двумя способами. С одной стороны, через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot D_1B_1 \cdot B_1K = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot 2b = ab\sqrt{2}$. С другой стороны, через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot D_1K \cdot h = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + 2b^2)} \cdot h$.

Приравнивая эти два выражения для площади, находим $h$:

$ab\sqrt{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + 2b^2)} \cdot h$

$h = \frac{2ab\sqrt{2}}{\sqrt{2(a^2 + 2b^2)}} = \frac{2ab\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{a^2 + 2b^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{a^2 + 2b^2}}$.

Ответ: $\frac{2ab}{\sqrt{a^2 + 2b^2}}$