Номер 170, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

170. В правильной треугольной призме все ребра равны. Найдите угол между медианой основания и диагональю боковой грани.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. По условию, все ее ребра равны. Обозначим длину ребра через $a$. Это означает, что основания призмы ($\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) — квадратами со стороной $a$.

Для нахождения угла между медианой основания и диагональю боковой грани выберем конкретные прямые, например, пересекающиеся в одной вершине. Пусть $CM$ — медиана в основании $ABC$, проведенная из вершины $C$ к середине $M$ стороны $AB$. В качестве диагонали боковой грани рассмотрим $CB_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$, выходящую из той же вершины $C$.

Искомый угол — это угол $\angle MCB_1$. Мы можем найти его, рассмотрев треугольник $MCB_1$ и применив к нему теорему косинусов. Для этого вычислим длины сторон этого треугольника.

1. Нахождение длины стороны $CM$
$CM$ является медианой в равностороннем треугольнике $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Нахождение длины стороны $CB_1$
$CB_1$ является диагональю квадрата $BCC_1B_1$ со стороной $a$. Длина диагонали квадрата равна:$CB_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

3. Нахождение длины стороны $MB_1$
Точка $M$ — середина ребра $AB$, поэтому $MB = \frac{a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBB_1$ (угол $\angle MBB_1$ прямой, так как призма правильная). Катет $MB = \frac{a}{2}$, катет $BB_1 = a$ (боковое ребро). По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы $MB_1$:$MB_1^2 = MB^2 + BB_1^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4}$

4. Применение теоремы косинусов
Применим теорему косинусов к треугольнику $MCB_1$ для нахождения косинуса искомого угла $\alpha = \angle MCB_1$:$MB_1^2 = CM^2 + CB_1^2 - 2 \cdot CM \cdot CB_1 \cdot \cos(\alpha)$Подставим найденные значения:$\frac{5a^2}{4} = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(\alpha)$$\frac{5a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + 2a^2 - a^2\sqrt{6} \cdot \cos(\alpha)$Преобразуем правую часть, приведя к общему знаменателю:$\frac{5a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + \frac{8a^2}{4} - a^2\sqrt{6} \cdot \cos(\alpha)$$\frac{5a^2}{4} = \frac{11a^2}{4} - a^2\sqrt{6} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a > 0$):$\frac{5}{4} = \frac{11}{4} - \sqrt{6} \cdot \cos(\alpha)$Выразим $\cos(\alpha)$:$\sqrt{6} \cdot \cos(\alpha) = \frac{11}{4} - \frac{5}{4}$$\sqrt{6} \cdot \cos(\alpha) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Таким образом, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.