Номер 164, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

164. В треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра попарно равны (рис. 69). Докажите, что прямые, проходящие через середины скрещивающихся ребер, попарно перпендикулярны.

Рис. 69

Пусть дана треугольная пирамида (тетраэдр) $ABCD$. Скрещивающимися ребрами в ней являются пары: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$. По условию задачи, скрещивающиеся ребра попарно равны, то есть:

• $AB = CD$
• $AC = BD$
• $AD = BC$

Обозначим середины ребер:

• $K$ — середина $AB$
• $L$ — середина $CD$
• $M$ — середина $AC$
• $N$ — середина $BD$
• $P$ — середина $AD$
• $Q$ — середина $BC$

Прямые, проходящие через середины скрещивающихся ребер, — это прямые $KL$, $MN$ и $PQ$. Нам необходимо доказать, что эти прямые попарно перпендикулярны, то есть $KL \perp MN$, $KL \perp PQ$ и $MN \perp PQ$.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника и свойствами ромба.

Доказательство перпендикулярности $KL$ и $MN$

Рассмотрим четырехугольник $KMLN$. Его вершины являются серединами ребер $AB, AC, CD, BD$.

• Отрезок $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.
• Отрезок $LN$ является средней линией треугольника $DBC$. Следовательно, $LN \parallel BC$ и $LN = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $KM$ и $LN$ параллельны одной и той же прямой $BC$ и равны по длине, четырехугольник $KMLN$ является параллелограммом. Его диагоналями являются отрезки $KL$ и $MN$.

• Рассмотрим другую пару сторон. Отрезок $ML$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно, $ML \parallel AD$ и $ML = \frac{1}{2}AD$.

Таким образом, смежные стороны параллелограмма $KMLN$ — это $KM$ и $ML$. По условию задачи $BC = AD$. Отсюда следует, что $KM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD = ML$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Значит, $KMLN$ — ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, $KL \perp MN$.

Доказательство перпендикулярности $KL$ и $PQ$

Рассмотрим четырехугольник $KPLQ$. Его вершины являются серединами ребер $AB, AD, CD, BC$.

• Отрезок $KP$ является средней линией треугольника $ABD$. Следовательно, $KP \parallel BD$ и $KP = \frac{1}{2}BD$.
• Отрезок $LQ$ является средней линией треугольника $CBD$. Следовательно, $LQ \parallel BD$ и $LQ = \frac{1}{2}BD$.

Поскольку $KP$ и $LQ$ параллельны $BD$ и равны, четырехугольник $KPLQ$ является параллелограммом. Его диагоналями являются отрезки $KL$ и $PQ$.

• Рассмотрим смежную сторону $PL$. Отрезок $PL$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно, $PL \parallel AC$ и $PL = \frac{1}{2}AC$.

Смежные стороны параллелограмма $KPLQ$ — это $KP$ и $PL$. По условию задачи $BD = AC$. Отсюда следует, что $KP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = PL$.

Параллелограмм $KPLQ$ является ромбом, так как его смежные стороны равны. Следовательно, его диагонали перпендикулярны: $KL \perp PQ$.

Доказательство перпендикулярности $MN$ и $PQ$

Рассмотрим четырехугольник $MPNQ$. Его вершины являются серединами ребер $AC, AD, BD, BC$.

• Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ACD$. Следовательно, $MP \parallel CD$ и $MP = \frac{1}{2}CD$.
• Отрезок $QN$ является средней линией треугольника $BCD$. Следовательно, $QN \parallel CD$ и $QN = \frac{1}{2}CD$.

Поскольку $MP$ и $QN$ параллельны $CD$ и равны, четырехугольник $MPNQ$ является параллелограммом. Его диагоналями являются отрезки $MN$ и $PQ$.

• Рассмотрим смежную сторону $PN$. Отрезок $PN$ является средней линией треугольника $ABD$. Следовательно, $PN \parallel AB$ и $PN = \frac{1}{2}AB$.

Смежные стороны параллелограмма $MPNQ$ — это $MP$ и $PN$. По условию задачи $CD = AB$. Отсюда следует, что $MP = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB = PN$.

Параллелограмм $MPNQ$ является ромбом. Следовательно, его диагонали перпендикулярны: $MN \perp PQ$.

Таким образом, мы доказали, что прямые, проходящие через середины скрещивающихся ребер, попарно перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.