Номер 157, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

157. Точка S равноудалена от вершин квадрата $ABCD$. Учитывая, что $SA = AB = a$, найдите:

а) расстояние от точки S до плоскости $ABC$;

б) угол $ASC$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как точка $S$ равноудалена от всех вершин квадрата ($SA = SB = SC = SD$), то ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром описанной около квадрата окружности, то есть с точкой $O$. Следовательно, отрезок $SO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина есть искомое расстояние.

По условию, $ABCD$ — квадрат, и сторона $AB = a$. Также дано, что $SA = a$. Поскольку $S$ равноудалена от всех вершин, то $SA = SB = SC = SD = a$.

а) расстояние от точки S до плоскости ABC

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $AO$ является половиной диагонали квадрата $AC$. Найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из треугольника $\triangle ABC$:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Тогда $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ по теореме Пифагора найдем катет $SO$:
$SO^2 = SA^2 - AO^2$
$SO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$
$SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

б) угол ASC

Рассмотрим треугольник $\triangle ASC$. Его стороны равны: $SA = a$, $SC = a$ (по условию) и $AC = a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата, найденная в пункте а).
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема, обратная теореме Пифагора:
$SA^2 + SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
$AC^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$.
Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, то треугольник $\triangle ASC$ является прямоугольным, а его угол, лежащий напротив самой большой стороны (гипотенузы $AC$), прямой. Этот угол — $\angle ASC$.
Следовательно, $\angle ASC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.