Номер 151, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

151. Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, $K$ — такая точка пространства, что $KA = 2$, $KB = 5$ (рис. 64). Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$, учитывая, что проекция на плоскость $\alpha$ отрезка $KA$ втрое меньше проекции отрезка $KB$.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$. Таким образом, $KH = h$ и $KH \perp \alpha$.

Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то отрезки $HA$ и $HB$ являются проекциями наклонных $KA$ и $KB$ на эту плоскость соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta KHA$ и $\Delta KHB$ (углы $\angle KHA$ и $\angle KHB$ прямые, так как $KH \perp \alpha$). По теореме Пифагора имеем:

$KA^2 = KH^2 + HA^2$

$KB^2 = KH^2 + HB^2$

По условию задачи, $KA = 2$ и $KB = 5$. Подставим эти значения в уравнения:

$2^2 = h^2 + HA^2 \Rightarrow 4 = h^2 + HA^2$ (1)

$5^2 = h^2 + HB^2 \Rightarrow 25 = h^2 + HB^2$ (2)

Также из условия известно, что проекция отрезка $KA$ втрое меньше проекции отрезка $KB$. Это означает, что $HB = 3 \cdot HA$.

Пусть $HA = x$, тогда $HB = 3x$. Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2):

$\begin{cases} 4 = h^2 + x^2 \\ 25 = h^2 + (3x)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} h^2 + x^2 = 4 \\ h^2 + 9x^2 = 25 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(h^2 + 9x^2) - (h^2 + x^2) = 25 - 4$

$8x^2 = 21$

$x^2 = \frac{21}{8}$

Теперь подставим найденное значение $x^2$ в первое уравнение системы, чтобы найти $h^2$:

$h^2 + \frac{21}{8} = 4$

$h^2 = 4 - \frac{21}{8} = \frac{32}{8} - \frac{21}{8} = \frac{11}{8}$

Тогда искомое расстояние $h$ равно:

$h = \sqrt{\frac{11}{8}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{22}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{22}}{4}$.