Номер 153, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

153. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AC$ и $BC$ равны 9 см и 12 см. Точка $N$ отстоит от плоскости $ABC$ на 18 см, причем $NC \perp AC$ и $NC \perp BC$ (рис. 65). Найдите расстояние между точками $N$ и $M$, где $M$ — середина гипотенузы $AB$.

Рис. 65

По условию задачи, нам дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = 9$ см, а катет $BC = 12$ см. Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. Необходимо найти расстояние между точками $N$ и $M$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ в треугольнике $ABC$, используя теорему Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$AB = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Найдем длину медианы $CM$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5$ см.

3. Из условия известно, что $NC \perp AC$ и $NC \perp BC$. Так как $AC$ и $BC$ — две пересекающиеся прямые в плоскости $ABC$, то прямая $NC$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$. Это означает, что $NC$ является перпендикуляром от точки $N$ к плоскости $ABC$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки до плоскости, то есть $NC = 18$ см.

4. Поскольку прямая $NC$ перпендикулярна плоскости $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и медиане $CM$. Следовательно, $\angle NCM = 90^\circ$, и треугольник $NCM$ является прямоугольным.

5. Теперь мы можем найти расстояние $NM$, которое является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $NCM$. Снова применим теорему Пифагора:

$NM^2 = NC^2 + CM^2$

$NM^2 = 18^2 + (7,5)^2 = 324 + 56,25 = 380,25$

$NM = \sqrt{380,25} = 19,5$ см.

Ответ: 19,5 см.