Номер 156, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

156. Точка S находится на расстоянии 5 см от каждой стороны правильного треугольника ABC, в котором $AB = 8\sqrt{3}$ см (рис. 66). Найдите расстояние от точки S до плоскости ABC.

Рис. 66

Пусть $S$ — данная точка, а $ABC$ — данный правильный треугольник со стороной $a = 8\sqrt{3}$ см. Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $SH$, опущенного из точки $S$ на плоскость $ABC$.

По условию, точка $S$ равноудалена от каждой стороны треугольника $ABC$. Это означает, что проекция точки $S$ на плоскость, точка $H$, также равноудалена от сторон треугольника $ABC$. В правильном треугольнике точка, равноудаленная от всех сторон, является центром вписанной и описанной окружностей.

Проведем из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к стороне $AB$. Длина отрезка $HK$ равна радиусу $r$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Отрезок $SK$ — наклонная к плоскости $ABC$, $SH$ — перпендикуляр к плоскости, $HK$ — проекция наклонной. Так как проекция $HK$ перпендикулярна стороне $AB$, то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $SK$ перпендикулярна стороне $AB$. Следовательно, длина $SK$ — это расстояние от точки $S$ до стороны $AB$, и по условию $SK = 5$ см.

Треугольник $SHK$ является прямоугольным, так как $SH \perp (ABC)$, а значит $SH \perp HK$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$ для правильного треугольника со стороной $a = 8\sqrt{3}$ см по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$: $r = HK = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $SHK$ по теореме Пифагора найдем катет $SH$: $SH^2 = SK^2 - HK^2$ $SH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ $SH = \sqrt{9} = 3$ см.

Следовательно, расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ равно 3 см.

Ответ: 3 см.