Номер 159, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

159. Вершины $A, B, C$ треугольника $ABC$ отстоят от плоскости $\alpha$ на 10 см, 12 см и 14 см соответственно. Найдите расстояние до плоскости $\alpha$ от точки пересечения медиан, учитывая, что:

а) вершины находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$ (рис. 67);

б) отрезки $AB$ и $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ (рис. 68);

в) отрезки $AB$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$;

г) отрезки $BC$ и $AC$ пересекают плоскость $\alpha$.

Пусть $h_A$, $h_B$, $h_C$ — расстояния от вершин A, B, C треугольника до плоскости $\alpha$. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом. Расстояние от центроида G до плоскости $\alpha$, обозначим его $h_G$, можно найти как среднее арифметическое расстояний от его вершин до этой плоскости. При этом, если вершины находятся по разные стороны от плоскости, то их расстояния при вычислении берутся с противоположными знаками. Расстояние по определению является величиной неотрицательной, поэтому в итоге мы берем модуль полученного значения.

Дано: $h_A = 10$ см, $h_B = 12$ см, $h_C = 14$ см.

а) вершины находятся по одну сторону от плоскости α (рис. 67);

Так как все вершины находятся по одну сторону от плоскости, все расстояния берутся с одним знаком (например, положительным). Расстояние от центроида до плоскости равно среднему арифметическому расстояний от вершин:

$h_G = \frac{h_A + h_B + h_C}{3} = \frac{10 + 12 + 14}{3} = \frac{36}{3} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б) отрезки AB и AC пересекают плоскость α (рис. 68);

Если отрезки AB и AC пересекают плоскость, то вершина A находится по одну сторону от плоскости, а вершины B и C — по другую. Примем расстояние от точки А со знаком «минус», а расстояния от точек В и С — со знаком «плюс».

$h_G = \left| \frac{-h_A + h_B + h_C}{3} \right| = \left| \frac{-10 + 12 + 14}{3} \right| = \left| \frac{16}{3} \right| = 5 \frac{1}{3}$ см.

Ответ: $5 \frac{1}{3}$ см.

в) отрезки AB и BC пересекают плоскость α;

Если отрезки AB и BC пересекают плоскость, то вершина B находится по одну сторону от плоскости, а вершины A и C — по другую. Примем расстояние от точки B со знаком «минус», а расстояния от точек A и C — со знаком «плюс».

$h_G = \left| \frac{h_A - h_B + h_C}{3} \right| = \left| \frac{10 - 12 + 14}{3} \right| = \left| \frac{12}{3} \right| = 4$ см.

Ответ: 4 см.

г) отрезки BC и AC пересекают плоскость α.

Если отрезки BC и AC пересекают плоскость, то вершина C находится по одну сторону от плоскости, а вершины A и B — по другую. Примем расстояние от точки C со знаком «минус», а расстояния от точек A и B — со знаком «плюс».

$h_G = \left| \frac{h_A + h_B - h_C}{3} \right| = \left| \frac{10 + 12 - 14}{3} \right| = \left| \frac{8}{3} \right| = 2 \frac{2}{3}$ см.

Ответ: $2 \frac{2}{3}$ см.