Номер 165, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

165. В правильной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ ребро основания в $\sqrt{5}$ раз больше бокового ребра. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые рёбра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро призмы равно $h$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$. Пусть ребро основания равно $a$, то есть $AB = BC = CA = a$. По условию задачи, ребро основания в $\sqrt{5}$ раз больше бокового ребра: $a = h\sqrt{5}$. Отсюда следует, что $a^2 = 5h^2$.

Требуется найти угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$. Угол между скрещивающимися прямыми удобно находить с помощью метода координат. Угол $\phi$ между прямыми находится через косинус угла $\alpha$ между их направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ по формуле $\cos\phi = |\cos\alpha| = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.

Введём прямоугольную систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, а основание $ABC$ разместим в плоскости $Oxy$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты. Вершина $A$ находится в начале координат: $A(0, 0, 0)$. Вершина $B$ на оси $Ox$: $B(a, 0, 0)$. Вершина $C$ в плоскости $Oxy$: $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, так как $\triangle ABC$ равносторонний. Вершины верхнего основания получаются сдвигом на вектор $(0,0,h)$: $B_1(a, 0, h)$ и $C_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

Найдём координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BC_1$: $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = (a - 0, 0 - 0, h - 0) = (a, 0, h)$. $\vec{v_2} = \vec{BC_1} = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot (-\frac{a}{2}) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + h \cdot h = -\frac{a^2}{2} + h^2$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{v_1}| = |\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$. $|\vec{v_2}| = |\vec{BC_1}| = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Теперь найдём косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{-\frac{a^2}{2} + h^2}{\sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{h^2 - \frac{a^2}{2}}{a^2 + h^2}$.

Подставим в полученное выражение соотношение из условия $a^2 = 5h^2$: $\cos \alpha = \frac{h^2 - \frac{5h^2}{2}}{5h^2 + h^2} = \frac{h^2 - 2.5h^2}{6h^2} = \frac{-1.5h^2}{6h^2} = -\frac{1.5}{6} = -\frac{3/2}{6} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$.

Угол между прямыми по определению является острым (или прямым), поэтому его значение лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Косинус такого угла неотрицателен. Если косинус угла между направляющими векторами отрицательный (что означает, что угол между векторами тупой), то угол между прямыми $\phi$ находится как $180^\circ - \alpha$. Косинус угла между прямыми будет равен модулю косинуса угла между векторами: $\cos \phi = |\cos \alpha| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.

Следовательно, искомый угол $\phi = \arccos(\frac{1}{4})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{4})$.