Номер 136, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

136. Через точку $M$ вне плоскости треугольника $ABC$ проведена прямая $MA$, перпендикулярная прямым $AB$ и $AC$. Учитывая, что $N$ — произвольная точка прямой $BC$, установите вид треугольника $MAN$.

По условию задачи, прямая $MA$ перпендикулярна прямым $AB$ и $AC$. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$ и определяют плоскость треугольника $ABC$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, прямая $MA$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, что можно записать как $MA \perp (ABC)$.

Точка $N$ — произвольная точка на прямой $BC$. Поскольку прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $N$ принадлежит этой плоскости. Прямая $AN$ соединяет две точки $A$ и $N$, лежащие в плоскости $(ABC)$, следовательно, вся прямая $AN$ также лежит в плоскости $(ABC)$.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $MA \perp (ABC)$ и прямая $AN$ лежит в плоскости $(ABC)$, то прямая $MA$ перпендикулярна прямой $AN$, то есть $MA \perp AN$.

Это означает, что угол $\angle MAN$ в треугольнике $MAN$ является прямым, то есть $\angle MAN = 90^\circ$.

Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, является прямоугольным. Следовательно, треугольник $MAN$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$.

Ответ: Треугольник $MAN$ — прямоугольный.