Номер 93, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

93. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Докажите, что в плоскости $\alpha$ есть прямая, параллельная прямой $a$, проходящая через данную точку этой плоскости.

Пусть дана прямая $a$, плоскость $\alpha$ и точка $M$, принадлежащая плоскости $\alpha$. По условию задачи, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Запишем это формально: $a \parallel \alpha$ и $M \in \alpha$.

Необходимо доказать, что существует прямая $b$ такая, что $b \subset \alpha$, $M \in b$ и $b \parallel a$.

Доказательство:

1. Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, а точка $M$ лежит в этой плоскости, то точка $M$ не может принадлежать прямой $a$ ($M \notin a$). Если бы точка $M$ принадлежала прямой $a$, то прямая $a$ имела бы общую точку с плоскостью $\alpha$, что противоречило бы условию их параллельности.

2. Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем через прямую $a$ и точку $M$ плоскость $\beta$. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), и точка $M$ также лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

3. Теперь рассмотрим две плоскости: $\alpha$ (данную по условию) и $\beta$ (построенную). Точка $M$ является их общей точкой, так как $M \in \alpha$ и $M \in \beta$. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ как прямую $b$. Таким образом, $b = \alpha \cap \beta$.

4. Из определения линии пересечения следует, что прямая $b$ принадлежит обеим плоскостям. В частности, она лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). Также, поскольку $M$ - общая точка плоскостей, она лежит на линии их пересечения, то есть $M \in b$.

5. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (в форме леммы): если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($b$) параллельна данной прямой ($a$).

6. В нашей задаче все условия этой леммы выполнены: плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$. Следовательно, мы можем заключить, что $b \parallel a$.

Таким образом, мы доказали существование прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$, проходит через данную точку $M$ и параллельна прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В плоскости $\alpha$ существует прямая, параллельная прямой $a$ и проходящая через любую заданную точку этой плоскости.