Номер 88, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

88. В грани $SBC$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечена точка $M$, на ребре $AC$ — точка $K$ (рис. 40). Объясните, как построить точку пересечения прямой $AM$ с плоскостью $SBK$.

Рис. 40

Для построения точки пересечения прямой $AM$ с плоскостью $(SBK)$ воспользуемся методом вспомогательной секущей плоскости. Суть метода заключается в том, чтобы провести через заданную прямую ($AM$) вспомогательную плоскость, найти её линию пересечения с заданной плоскостью ($(SBK)$), и затем найти точку пересечения исходной прямой с этой линией.

1. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через точки $A$, $M$ и $C$. Обозначим эту плоскость $(AMC)$. По построению, прямая $AM$ лежит в этой плоскости.

2. Найдём линию пересечения плоскостей $(AMC)$ и $(SBK)$. Для этого необходимо найти две их общие точки.

• Первая общая точка: Точка $K$ лежит на ребре $AC$. Поскольку прямая $AC$ принадлежит плоскости $(AMC)$, то и точка $K$ принадлежит этой плоскости. По условию, точка $K$ также принадлежит плоскоosti $(SBK)$. Следовательно, $K$ — общая точка двух плоскостей.
• Вторая общая точка: Рассмотрим плоскость грани $(SBC)$. Прямая $CM$ (поскольку точки $C$ и $M$ лежат в этой плоскости) и прямая $SB$ лежат в одной плоскости $(SBC)$ и, в общем случае, пересекаются. Обозначим их точку пересечения $E$.
  Поскольку точка $E$ лежит на прямой $CM$, а прямая $CM$ лежит в плоскости $(AMC)$, то точка $E$ принадлежит плоскости $(AMC)$.
  Поскольку точка $E$ лежит на прямой $SB$, а прямая $SB$ лежит в плоскости $(SBK)$, то точка $E$ принадлежит плоскости $(SBK)$.
  Таким образом, точка $E$ является второй общей точкой плоскостей $(AMC)$ и $(SBK)$.

Линией пересечения плоскостей $(AMC)$ и $(SBK)$ является прямая, проходящая через их общие точки $K$ и $E$, то есть прямая $KE$.

3. Искомая точка пересечения прямой $AM$ и плоскости $(SBK)$ должна принадлежать им обеим. Так как прямая $AM$ лежит в плоскости $(AMC)$, искомая точка также должна лежать в плоскости $(AMC)$. Это означает, что она должна лежать на линии пересечения плоскостей $(AMC)$ и $(SBK)$, то есть на прямой $KE$.

4. Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямых $AM$ и $KE$. Эти прямые лежат в одной плоскости $(AMC)$, поэтому они пересекаются в одной точке (в общем случае).

1. В плоскости грани $(SBC)$ строим прямую, проходящую через точки $C$ и $M$.
2. Находим точку пересечения прямой $CM$ с прямой $SB$ и обозначаем её $E$.
3. Строим прямую, проходящую через точки $K$ и $E$.
4. Строим прямую $AM$.
5. Находим точку пересечения прямых $AM$ и $KE$. Эта точка является искомой.

Ответ: Чтобы построить точку пересечения прямой $AM$ с плоскостью $SBK$, необходимо: 1) В плоскости грани $(SBC)$ найти точку $E$ пересечения прямых $CM$ и $SB$; 2) Построить прямую $KE$; 3) Искомая точка является точкой пересечения прямых $AM$ и $KE$.