Номер 84, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

84. Точка $Q$ лежит вне плоскости параллелограмма $ABCD$. Сколько плоскостей определяют точки $A, B, C, D$ и $Q$? Сколько прямых образуется при пересечении этих плоскостей? Из этих плоскостей и прямых укажите пары, в которых плоскость и прямая параллельны.

Сколько плоскостей определяют точки A, B, C, D и Q?

Для определения плоскости необходимо три точки, не лежащие на одной прямой. В задаче даны 5 точек: $A, B, C, D$ и $Q$.

1. Точки $A, B, C, D$ являются вершинами параллелограмма и лежат в одной плоскости. Эта плоскость, которую мы обозначим $(ABCD)$, является первой и единственной плоскостью, определяемой только этими четырьмя точками (любые три из них, например $A, B, C$, определяют эту плоскость).

2. Точка $Q$ лежит вне плоскости $(ABCD)$. Любая другая плоскость должна содержать точку $Q$ и как минимум две точки из множества $\{A, B, C, D\}$. Две точки из этого множества определяют прямую. В плоскости $(ABCD)$ можно провести 6 различных прямых через пары точек:

• 4 стороны параллелограмма: $AB, BC, CD, DA$.
• 2 диагонали параллелограмма: $AC, BD$.

Каждая из этих 6 прямых вместе с точкой $Q$ (которая на них не лежит) определяет уникальную плоскость. Таким образом, мы получаем 6 плоскостей, содержащих точку $Q$:

• Плоскости, проходящие через стороны параллелограмма: $(QAB), (QBC), (QCD), (QAD)$.
• Плоскости, проходящие через диагонали параллелограмма: $(QAC), (QBD)$.

Все эти 6 плоскостей различны, так как прямые, на которых они основаны, различны и лежат в одной плоскости, не содержащей точку $Q$.

Суммируя, общее количество плоскостей равно $1$ (плоскость $(ABCD)$) $+ 6$ (плоскости, содержащие $Q$) $= 7$.

Ответ: 7 плоскостей.

Сколько прямых образуется при пересечении этих плоскостей?

Пересечение двух различных непараллельных плоскостей образует прямую. Мы должны найти все уникальные прямые, образованные попарным пересечением найденных 7 плоскостей: $(ABCD), (QAB), (QBC), (QCD), (QAD), (QAC), (QBD)$.

1. Пересечение плоскости $(ABCD)$ с шестью другими плоскостями дает 6 прямых, лежащих в этой плоскости:

• $(ABCD) \cap (QAB) = AB$
• $(ABCD) \cap (QBC) = BC$
• $(ABCD) \cap (QCD) = CD$
• $(ABCD) \cap (QAD) = AD$
• $(ABCD) \cap (QAC) = AC$
• $(ABCD) \cap (QBD) = BD$

Это 6 прямых (стороны и диагонали параллелограмма).

2. Пересечения плоскостей, проходящих через точку $Q$:

• Пересечения смежных боковых граней пирамиды $QABCD$ дают 4 боковых ребра:
  • $(QAB) \cap (QAD) = QA$
  • $(QAB) \cap (QBC) = QB$
  • $(QBC) \cap (QCD) = QC$
  • $(QCD) \cap (QAD) = QD$
• Пересечения противолежащих боковых граней. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.
  • Плоскости $(QAB)$ и $(QCD)$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $Q$ и параллельной прямым $AB$ и $CD$.
  • Плоскости $(QBC)$ и $(QAD)$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $Q$ и параллельной прямым $BC$ и $AD$.
  Это еще 2 уникальные прямые.
• Пересечение диагональных плоскостей $(QAC)$ и $(QBD)$. Их общей точкой является $Q$, а также точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, которую обозначим $O$. Следовательно, они пересекаются по прямой $QO$. Это еще 1 прямая.

Все остальные возможные пересечения (например, $(QAB) \cap (QAC)$) будут давать одну из уже перечисленных прямых (в данном случае $QA$).Итого, общее число уникальных прямых: $6$ (в основании) $+ 4$ (боковые ребра) $+ 2$ (через $Q$, параллельно сторонам) $+ 1$ (прямая $QO$) $= 13$.

Ответ: 13 прямых.

Из этих плоскостей и прямых укажите пары, в которых плоскость и прямая параллельны.

Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в этой плоскости и параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

1. Рассмотрим стороны параллелограмма:

• Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ (свойство параллелограмма). Прямая $CD$ лежит в плоскости $(QCD)$, а прямая $AB$ в ней не лежит. Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $(QCD)$.
• Аналогично, прямая $CD$ параллельна плоскости $(QAB)$, так как $CD \parallel AB$ и $AB \subset (QAB)$.
• Прямая $BC$ параллельна плоскости $(QAD)$, так как $BC \parallel AD$ и $AD \subset (QAD)$.
• Прямая $AD$ параллельна плоскости $(QBC)$, так как $AD \parallel BC$ и $BC \subset (QBC)$.

Это 4 пары "прямая-плоскость".

2. Рассмотрим прямые, образованные пересечением противолежащих боковых граней:

• Прямая, полученная пересечением плоскостей $(QAB)$ и $(QCD)$, проходит через $Q$ и параллельна $AB$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABCD)$, а прямая пересечения не лежит в ней (поскольку содержит точку $Q$, не принадлежащую $(ABCD)$), то эта прямая пересечения параллельна плоскости $(ABCD)$.
• Аналогично, прямая пересечения плоскостей $(QBC)$ и $(QAD)$ параллельна $BC$ и, следовательно, параллельна плоскости $(ABCD)$.

Это еще 2 пары "прямая-плоскость".

Других параллельных пар нет. Диагонали ($AC, BD$), боковые ребра ($QA, QB, QC, QD$) и прямая $QO$ пересекают все плоскости, в которых они не лежат.

Ответ: Всего 6 таких пар:

1. Прямая $AB$ и плоскость $(QCD)$.
2. Прямая $CD$ и плоскость $(QAB)$.
3. Прямая $BC$ и плоскость $(QAD)$.
4. Прямая $AD$ и плоскость $(QBC)$.
5. Прямая, являющаяся пересечением плоскостей $(QAB)$ и $(QCD)$, и плоскость $(ABCD)$.
6. Прямая, являющаяся пересечением плоскостей $(QBC)$ и $(QAD)$, и плоскость $(ABCD)$.