Номер 83, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

83. В пирамиде $SABCDEF$ все ребра основания $ABCDEF$ равны единице, а все боковые ребра — двум. Найдите угол между прямыми:
а) $SA$ и $BC$;
б) $SA$ и $BE$;
в) $SA$ и $BD$.

В основании пирамиды $SABCDEF$ лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$, так как все его ребра равны 1. Боковые ребра пирамиды также равны между собой ($SA = SB = \dots = SF = 2$), следовательно, пирамида является правильной. Вершина $S$ проецируется в центр основания $O$.

Основные свойства, используемые в решении:

• Сторона основания $a=1$.
• Боковое ребро $l=2$.
• Радиус описанной окружности основания равен стороне шестиугольника: $R = OA = OB = \dots = OF = a = 1$.
• Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $SOA$: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.
• Длина большой диагонали основания (например, $BE$) равна $2a = 2$.
• Длина малой диагонали основания (например, $BD$ или $AE$) равна $a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми будем использовать метод параллельного переноса одной из прямых до пересечения с другой.

а) SA и BC

В правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна радиусу $AO$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$ равен углу между пересекающимися прямыми $SA$ и $AO$, то есть углу $\angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $SAO$. Он прямоугольный, так как $SO$ — высота пирамиды, а $AO$ — проекция ребра $SA$ на плоскость основания ($ \angle SOA = 90^\circ $). В этом треугольнике:

• гипотенуза $SA = 2$;
• катет $AO = 1$.

Косинус угла $\angle SAO$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{1}{2}$

Отсюда, $\angle SAO = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) SA и BE

В правильном шестиугольнике большая диагональ $BE$ параллельна стороне $AF$. Значит, искомый угол между прямыми $SA$ и $BE$ равен углу между прямыми $SA$ и $AF$, то есть углу $\angle SAF$.

Рассмотрим треугольник $SAF$. Его стороны известны:

• $SA = 2$ (боковое ребро);
• $SF = 2$ (боковое ребро);
• $AF = 1$ (сторона основания).

Треугольник $SAF$ — равнобедренный. Найдем косинус угла $\angle SAF$ по теореме косинусов:

$SF^2 = SA^2 + AF^2 - 2 \cdot SA \cdot AF \cdot \cos(\angle SAF)$

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAF)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cos(\angle SAF)$

$0 = 1 - 4 \cos(\angle SAF)$

$4 \cos(\angle SAF) = 1$

$\cos(\angle SAF) = \frac{1}{4}$

Искомый угол равен $\arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.

в) SA и BD

В правильном шестиугольнике малая диагональ $BD$ параллельна малой диагонали $AE$. Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $BD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AE$, то есть углу $\angle SAE$.

Рассмотрим треугольник $SAE$. Его стороны известны:

• $SA = 2$ (боковое ребро);
• $SE = 2$ (боковое ребро);
• $AE = \sqrt{3}$ (малая диагональ основания).

Треугольник $SAE$ — равнобедренный. Найдем косинус угла $\angle SAE$ по теореме косинусов:

$SE^2 = SA^2 + AE^2 - 2 \cdot SA \cdot AE \cdot \cos(\angle SAE)$

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$

$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cos(\angle SAE)$

$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cos(\angle SAE)$

$4\sqrt{3} \cos(\angle SAE) = 3$

$\cos(\angle SAE) = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Искомый угол равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.