Номер 78, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

78. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны единице, а точки $M$ и $N$ — середины ребер $AA_1$ и $BC$ соответственно. Найдите угол между прямыми:

а) $BM$ и $AC;$

б) $BM$ и $B_1 C_1;$

в) $BM$ и $CC_1;$

г) $BM$ и $AC_1;$

д) $A_1 N$ и $AC;$

е) $A_1 N$ и $CC_1;$

ж) $A_1 N$ и $AC_1;$

з) $A_1 N$ и $BM.$

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $A$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ – вдоль ребра $AA_1$. Так как призма правильная, ее основание $ABC$ – равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

По условию, все ребра призмы равны 1. Найдем координаты вершин:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• Высота треугольника $ABC$ из вершины $C$ на сторону $AB$ равна $1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Проекция точки $C$ на ось $Ox$ имеет координату $1/2$. Таким образом, $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• $A_1(0, 0, 1)$
• $B_1(1, 0, 1)$
• $C_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Точка $M$ – середина ребра $AA_1$, ее координаты: $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 0, 1/2)$.

Точка $N$ – середина ребра $BC$, ее координаты: $N(\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3/4, \sqrt{3}/4, 0)$.

Найдем направляющие векторы для прямых и их длины:

• $\vec{BM} = M - B = (0-1, 0-0, 1/2-0) = (-1, 0, 1/2)$. $|\vec{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $\vec{A_1N} = N - A_1 = (3/4-0, \sqrt{3}/4-0, 0-1) = (3/4, \sqrt{3}/4, -1)$. $|\vec{A_1N}| = \sqrt{(3/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9/16 + 3/16 + 1} = \sqrt{12/16 + 1} = \sqrt{3/4 + 1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
• $\vec{AC} = C - A = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. $|\vec{AC}| = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = 1$.
• $\vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 1-1) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. $|\vec{B_1C_1}| = 1$.
• $\vec{CC_1} = C_1 - C = (1/2-1/2, \sqrt{3}/2-\sqrt{3}/2, 1-0) = (0, 0, 1)$. $|\vec{CC_1}| = 1$.
• $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. $|\vec{AC_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{2}$.

Угол $\alpha$ между прямыми с направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

а) $BM$ и $AC$

Найдем угол между векторами $\vec{BM} = (-1, 0, 1/2)$ и $\vec{AC} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Скалярное произведение: $\vec{BM} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot (1/2) + 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + (1/2) \cdot 0 = -1/2$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|-1/2|}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1} = \frac{1/2}{\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

б) $BM$ и $B_1C_1$

Прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$, поэтому угол между $BM$ и $B_1C_1$ равен углу между $BM$ и $BC$. Направляющий вектор для $B_1C_1$ - это $\vec{B_1C_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Найдем угол между векторами $\vec{BM} = (-1, 0, 1/2)$ и $\vec{B_1C_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Скалярное произведение: $\vec{BM} \cdot \vec{B_1C_1} = (-1) \cdot (-1/2) + 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + (1/2) \cdot 0 = 1/2$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|1/2|}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1} = \frac{1/2}{\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

в) $BM$ и $CC_1$

Найдем угол между векторами $\vec{BM} = (-1, 0, 1/2)$ и $\vec{CC_1} = (0, 0, 1)$.

Скалярное произведение: $\vec{BM} \cdot \vec{CC_1} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (1/2) \cdot 1 = 1/2$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|1/2|}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1} = \frac{1/2}{\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

г) $BM$ и $AC_1$

Найдем угол между векторами $\vec{BM} = (-1, 0, 1/2)$ и $\vec{AC_1} = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Скалярное произведение: $\vec{BM} \cdot \vec{AC_1} = (-1) \cdot (1/2) + 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + (1/2) \cdot 1 = -1/2 + 1/2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

д) $A_1N$ и $AC$

Найдем угол между векторами $\vec{A_1N} = (3/4, \sqrt{3}/4, -1)$ и $\vec{AC} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Скалярное произведение: $\vec{A_1N} \cdot \vec{AC} = (3/4) \cdot (1/2) + (\sqrt{3}/4) \cdot (\sqrt{3}/2) + (-1) \cdot 0 = 3/8 + 3/8 = 6/8 = 3/4$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|3/4|}{\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot 1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{3\sqrt{7}}{14})$.

Ответ: $\arccos(\frac{3\sqrt{7}}{14})$.

е) $A_1N$ и $CC_1$

Найдем угол между векторами $\vec{A_1N} = (3/4, \sqrt{3}/4, -1)$ и $\vec{CC_1} = (0, 0, 1)$.

Скалярное произведение: $\vec{A_1N} \cdot \vec{CC_1} = (3/4) \cdot 0 + (\sqrt{3}/4) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|-1|}{\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{7}/2} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{2\sqrt{7}}{7})$.

Ответ: $\arccos(\frac{2\sqrt{7}}{7})$.

ж) $A_1N$ и $AC_1$

Найдем угол между векторами $\vec{A_1N} = (3/4, \sqrt{3}/4, -1)$ и $\vec{AC_1} = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Скалярное произведение: $\vec{A_1N} \cdot \vec{AC_1} = (3/4) \cdot (1/2) + (\sqrt{3}/4) \cdot (\sqrt{3}/2) + (-1) \cdot 1 = 3/8 + 3/8 - 1 = -1/4$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|-1/4|}{\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1/4}{\sqrt{14}/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{28}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{14}}{28})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{14}}{28})$.

з) $A_1N$ и $BM$

Найдем угол между векторами $\vec{A_1N} = (3/4, \sqrt{3}/4, -1)$ и $\vec{BM} = (-1, 0, 1/2)$.

Скалярное произведение: $\vec{A_1N} \cdot \vec{BM} = (3/4) \cdot (-1) + (\sqrt{3}/4) \cdot 0 + (-1) \cdot (1/2) = -3/4 - 1/2 = -5/4$.

Косинус угла: $\cos \alpha = \frac{|-5/4|}{\frac{\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{5/4}{\sqrt{35}/4} = \frac{5}{\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{7}$.

Искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{35}}{7})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{35}}{7})$.