Номер 81, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

81. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны единице. Найдите угол между прямыми:

а) $AC_1$ и $A_1D$;

б) $AC_1$ и $BE_1$;

в) $AC_1$ и $B_1F$;

г) $AD_1$ и $CF_1$;

д) $AD_1$ и $CF$;

е) $AD_1$ и $BE$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$ правильной шестиугольной призмы. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ — вдоль большой диагонали $AD$ основания. Так как все ребра призмы равны 1, то в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1. Длина большой диагонали $AD$ равна $2a = 2 \cdot 1 = 2$.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(2, 0, 0)$
• $E(3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$
• $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $C_1(3/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D_1(2, 0, 1)$
• $E_1(3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
• $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Угол $\alpha$ между двумя прямыми можно найти через угол между их направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле: $\cos\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

а) $AC_1$ и $A_1D$
Найдем координаты направляющих векторов:$\vec{AC_1} = C_1 - A = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$$\vec{A_1D} = D - A_1 = (2, 0, 0) - (0, 0, 1) = (2, 0, -1)$
Вычислим их скалярное произведение:$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1D} = \frac{3}{2} \cdot 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 3 - 1 = 2$
Найдем длины векторов:$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$$|\vec{A_1D}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
Найдем косинус угла:$\cos\alpha = \frac{|2|}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

б) $AC_1$ и $BE_1$
Направляющие векторы:$\vec{AC_1} = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$$\vec{BE_1} = E_1 - B = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1) - (1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$
Скалярное произведение:$\vec{AC_1} \cdot \vec{BE_1} = \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 1$
Длины векторов:$|\vec{AC_1}| = 2$$|\vec{BE_1}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1+3+1} = \sqrt{5}$
Косинус угла:$\cos\alpha = \frac{|1|}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$
Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{10}\right)$

в) $AC_1$ и $B_1F$
Направляющие векторы:$\vec{AC_1} = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$$\vec{B_1F} = F - B_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) - (1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (0, -\sqrt{3}, -1)$
Скалярное произведение:$\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1F} = \frac{3}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot (-1) = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$
Длины векторов:$|\vec{AC_1}| = 2$$|\vec{B_1F}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$
Косинус угла:$\cos\alpha = \frac{|-5/2|}{2 \cdot 2} = \frac{5/2}{4} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\arccos\left(\frac{5}{8}\right)$

г) $AD_1$ и $CF_1$
Направляющие векторы:$\vec{AD_1} = D_1 - A = (2, 0, 1)$$\vec{CF_1} = F_1 - C = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1) - (3/2, \sqrt{3}/2, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$
Скалярное произведение:$\vec{AD_1} \cdot \vec{CF_1} = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 1 = -2 + 1 = -1$
Длины векторов:$|\vec{AD_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$$|\vec{CF_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1+3+1} = \sqrt{5}$
Косинус угла:$\cos\alpha = \frac{|-1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{5}\right)$

д) $AD_1$ и $CF$
Направляющие векторы:$\vec{AD_1} = (2, 0, 1)$$\vec{CF} = F - C = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) - (3/2, \sqrt{3}/2, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$
Скалярное произведение:$\vec{AD_1} \cdot \vec{CF} = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 0 = -2$
Длины векторов:$|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$$|\vec{CF}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$
Косинус угла:$\cos\alpha = \frac{|-2|}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

е) $AD_1$ и $BE$
Направляющие векторы:$\vec{AD_1} = (2, 0, 1)$$\vec{BE} = E - B = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0) - (1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1, -\sqrt{3}, 0)$
Скалярное произведение:$\vec{AD_1} \cdot \vec{BE} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 0 = 2$
Длины векторов:$|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$$|\vec{BE}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$
Косинус угла:$\cos\alpha = \frac{|2|}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$