Номер 87, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

87. В грани $SAB$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечена точка $N$, через нее проведена прямая $a$, пересекающая прямую $SA$ и параллельная плоскости $SBC$. Объясните, как построить точку пересечения прямых $a$ и $SA$.

По условию задачи, прямая $a$ проходит через точку $N$, принадлежащую плоскости грани $SAB$. Также известно, что прямая $a$ пересекает прямую $SA$. Обозначим точку их пересечения как $P$. Поскольку две точки прямой $a$ (точки $N$ и $P$) лежат в плоскости $(SAB)$, то вся прямая $a$ целиком лежит в этой плоскости, то есть $a \subset (SAB)$.

Из условия также следует, что прямая $a$ параллельна плоскости $(SBC)$, т.е. $a \parallel (SBC)$.

Рассмотрим две плоскости: $(SAB)$ и $(SBC)$. Плоскость $(SAB)$ содержит прямую $a$. Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ пересекаются по общему ребру $SB$.

Применим свойство параллельных прямой и плоскости: если плоскость (в нашем случае $(SAB)$) проходит через данную прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($(SBC)$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (прямая $SB$) параллельна данной прямой ($a$).

Из этого следует, что прямая $a$ параллельна прямой $SB$ ($a \parallel SB$).

Таким образом, прямая $a$ — это прямая, лежащая в плоскости $(SAB)$, проходящая через точку $N$ и параллельная ребру $SB$.

Алгоритм построения искомой точки пересечения:
1. В плоскости грани $SAB$ через точку $N$ провести прямую, параллельную ребру $SB$. Построенная прямая является прямой $a$.
2. Найти точку пересечения этой прямой $a$ с прямой $SA$. Эта точка и будет искомой.

Ответ: Для построения искомой точки пересечения прямых $a$ и $SA$ необходимо в плоскости грани $SAB$ провести через точку $N$ прямую, параллельную ребру $SB$. Точка, в которой эта построенная прямая пересечет прямую $SA$, и является искомой точкой.