Номер 91, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

91. Точка K на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что$AB : AK = 3 : 2$. Плоскость $\alpha$, параллельная прямой BC, проходитчерез точку K. Определите, проходит ли плоскость $\alpha$ через точкупересечения медиан треугольника ABC.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Проведем медиану $AN$ к стороне $BC$ ($N$ — середина $BC$). По свойству медиан, точка $M$ делит медиану $AN$ в отношении $AM : MN = 2 : 1$, считая от вершины. Это означает, что $AM = \frac{2}{3}AN$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ на стороне $AB$ и параллельна прямой $BC$. Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$. Так как плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью треугольника (иначе $BC$ была бы в плоскости $\alpha$, что противоречит условию параллельности, если $\alpha$ и $BC$ не содержат общую точку) и имеет с ней общую точку $K$, то эти плоскости пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую $l$.

По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\alpha$) проходит через точку ($K$) и параллельна некоторой прямой ($BC$), а другая плоскость (плоскость $\triangle ABC$) проходит через ту же точку ($K$) и ту же прямую ($BC$), то линия их пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($BC$). Таким образом, прямая $l$ проходит через точку $K$ и параллельна $BC$.

Прямая $l$ лежит в плоскости треугольника $ABC$. Так как $l \parallel BC$, по теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), эта прямая пересекает все прямые, пересекающие $BC$, и делит отрезки, выходящие из вершины $A$, в одном и том же отношении. В частности, она пересекает медиану $AN$.

Пусть прямая $l$ пересекает медиану $AN$ в точке $M'$. Рассмотрим треугольник $ABN$. В нем отрезок $KM'$ параллелен стороне $BN$ (так как $KM' \subset l$ и $BN \subset BC$, а $l \parallel BC$). По теореме о пропорциональных отрезках:

$\frac{AM'}{AN} = \frac{AK}{AB}$

Из условия задачи известно, что $AB : AK = 3 : 2$, следовательно, $\frac{AK}{AB} = \frac{2}{3}$.

Тогда $\frac{AM'}{AN} = \frac{2}{3}$, откуда $AM' = \frac{2}{3}AN$.

Мы знаем, что точка пересечения медиан $M$ также удовлетворяет условию $AM = \frac{2}{3}AN$. Поскольку обе точки, $M$ и $M'$, лежат на отрезке $AN$ и находятся на одинаковом расстоянии от точки $A$, они совпадают: $M' = M$.

Это означает, что точка пересечения медиан $M$ лежит на прямой $l$. А так как прямая $l$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью треугольника $ABC$, то вся прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, плоскость $\alpha$ проходит через точку пересечения медиан треугольника $ABC$.