Номер 92, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

92. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ и прямой $b$. Каким может быть взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$?

По условию задачи дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$) и прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Нам нужно определить все возможные варианты взаимного расположения прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве может быть одним из трех:
1. Прямая лежит в плоскости.
2. Прямая параллельна плоскости.
3. Прямая пересекает плоскость в одной точке.

Рассмотрим каждый из этих случаев для прямой $b$ и плоскости $\alpha$ с учетом заданных условий.

1. Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$)

Этот случай возможен. Представим себе плоскость $\alpha$ и две параллельные прямые $a$ и $b$, которые не лежат в этой плоскости и не пересекают ее. В этом случае оба условия задачи ($a \parallel \alpha$ и $a \parallel b$) выполняются, и при этом прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

2. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$)

Этот случай также возможен. Если прямая $b$ находится в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ параллельна прямой $b$ и не лежит в плоскости $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, все условия задачи ($a \parallel \alpha$ и $a \parallel b$) выполняются.

3. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$

Докажем, что этот случай невозможен, методом от противного.
Предположим, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$.
Так как по условию $a \parallel b$, то через эти две параллельные прямые можно провести единственную плоскость, назовем ее $\beta$.
Поскольку плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$, которая пересекает плоскость $\alpha$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Линией их пересечения является некоторая прямая $c$, проходящая через точку $M$.
В плоскости $\beta$ лежат прямые $a$, $b$ и $c$. Так как $a \parallel b$ и прямая $c$ пересекает прямую $b$ (в точке $M$), то она обязана пересекать и прямую $a$ в некоторой точке $N$.
Но прямая $c$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка их пересечения $N$ также принадлежит плоскости $\alpha$.
Получается, что прямая $a$ имеет общую точку $N$ с плоскостью $\alpha$, то есть пересекает ее. Это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что $a \parallel \alpha$.
Наше предположение было неверным, следовательно, прямая $b$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

Таким образом, из трех возможных вариантов взаимного расположения прямой и плоскости, возможны только два.

Ответ: прямая $b$ может быть параллельна плоскости $\alpha$ или лежать в плоскости $\alpha$.