Номер 72, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

72. На ребре $SD$ пирамиды $SABCD$ отмечена точка $N$ (рис. 37). Сделай- те такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоско- стью, проходящей через точки $B$, $N$ и параллельной прямой $AC$.

Рис. 37

Для построения сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, которая проходит через точки $B$, $N$ и параллельна прямой $AC$, необходимо выполнить последовательность шагов. Метод построения основан на нахождении точки, принадлежащей одновременно секущей плоскости и плоскости $SAC$, и последующем использовании условия параллельности плоскости $\alpha$ и прямой $AC$.

1. Построение вспомогательной точки P

Секущая плоскость $\alpha$ содержит прямую $BN$. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $SBD$, в которой лежит прямая $BN$ (так как $B \in (SBD)$ и $N \in SD \subset (SBD)$). В основании пирамиды проведем диагонали $AC$ и $BD$, пусть они пересекаются в точке $O$. Прямая $SO$ является линией пересечения плоскостей $SAC$ и $SBD$. Прямые $BN$ и $SO$ лежат в одной плоскости $(SBD)$, следовательно, они пересекаются в некоторой точке $P$ (если они не параллельны). Таким образом, $P = BN \cap SO$. Поскольку $P \in BN$, то точка $P$ принадлежит секущей плоскости $\alpha$. Поскольку $P \in SO$, то точка $P$ принадлежит плоскости $SAC$. Точка $P$ — это общая точка для искомой плоскости $\alpha$ и плоскости $SAC$.

2. Использование условия параллельности и нахождение вершин сечения

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $SAC$. Согласно свойству, если плоскость ($\alpha$) параллельна прямой ($AC$), то линия пересечения этой плоскости с любой плоскостью ($SAC$), содержащей эту прямую, будет ей параллельна. Следовательно, след (линия пересечения) плоскости $\alpha$ на плоскости $SAC$ — это прямая, проходящая через найденную точку $P$ и параллельная $AC$. Проведем в плоскости $SAC$ прямую $l$ через точку $P$ так, что $l \parallel AC$. Эта прямая $l$ пересечет ребра пирамиды $SA$ и $SC$ в некоторых точках. Обозначим их: $Q = l \cap SA$ $M = l \cap SC$ Точки $Q$ и $M$ являются вершинами искомого сечения.

3. Построение многоугольника сечения

К настоящему моменту мы определили все вершины сечения: $B$ (задана), $N$ (задана, на ребре $SD$), $Q$ (построена, на ребре $SA$) и $M$ (построена, на ребре $SC$). Все эти точки по построению лежат в одной плоскости $\alpha$. Для получения многоугольника сечения соединим эти вершины отрезками, каждый из которых является линией пересечения плоскости $\alpha$ с соответствующей гранью пирамиды.

• В грани $SAB$ соединяем точки $B$ и $Q$. Отрезок $BQ$ — сторона сечения.
• В грани $SAD$ соединяем точки $Q$ и $N$. Отрезок $QN$ — сторона сечения.
• В грани $SCD$ соединяем точки $N$ и $M$. Отрезок $NM$ — сторона сечения.
• В грани $SBC$ соединяем точки $M$ и $B$. Отрезок $MB$ — сторона сечения.

В результате получаем четырехугольник $BQNM$. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырёхугольник $BQNM$, где точки $Q$ и $M$ получаются в результате пересечения рёбер $SA$ и $SC$ с прямой, проведённой в плоскости $SAC$ через точку $P = BN \cap SO$ параллельно прямой $AC$.