Номер 67, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

67. Углы $ABC$, $ABB_1$, $CBB_1$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны $110^\circ$, $100^\circ$, $130^\circ$. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $C_1D_1$;

б) $AA_1$ и $B_1C_1$;

в) $A_1B_1$ и $AD$.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные ребра параллельны и равны. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Будем использовать это определение и свойства параллелограмма (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$).

а) AA₁ и C₁D₁

По свойству параллелепипеда, ребро $C_1D_1$ параллельно ребру $AB$ ($C_1D_1 \parallel AB$). Следовательно, угол между прямыми $AA_1$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $AA_1$ и $AB$. Эти прямые пересекаются в точке A и образуют угол $\angle A_1AB$.

Грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Нам дан угол $\angle ABB_1 = 100^\circ$. Тогда угол $\angle A_1AB$, прилежащий к той же стороне $BB_1$, равен:

$\angle A_1AB = 180^\circ - \angle ABB_1 = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Поскольку угол между прямыми по определению не превышает $90^\circ$, а $80^\circ < 90^\circ$, то это и есть искомый угол.

Ответ: $80^\circ$.

б) AA₁ и B₁C₁

По свойству параллелепипеда, ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$ ($AA_1 \parallel BB_1$), а ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$ ($B_1C_1 \parallel BC$). Следовательно, угол между прямыми $AA_1$ и $B_1C_1$ равен углу между прямыми $BB_1$ и $BC$. Эти прямые пересекаются в точке B и образуют угол $\angle CBB_1$.

По условию $\angle CBB_1 = 130^\circ$. Угол между прямыми по определению является острым или прямым. Если при пересечении прямых один из углов равен $\alpha > 90^\circ$, то за угол между прямыми принимают смежный с ним угол, равный $180^\circ - \alpha$.

Искомый угол равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

в) A₁B₁ и AD

По свойству параллелепипеда, ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$ ($A_1B_1 \parallel AB$). Следовательно, угол между прямыми $A_1B_1$ и $AD$ равен углу между прямыми $AB$ и $AD$. Эти прямые пересекаются в точке A и образуют угол $\angle DAB$.

Грань $ABCD$ является параллелограммом. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Нам дан угол $\angle ABC = 110^\circ$. Тогда угол $\angle DAB$, прилежащий к той же стороне $AB$, равен:

$\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Поскольку $70^\circ < 90^\circ$, это и есть искомый угол.

Ответ: $70^\circ$.