Номер 60, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

60. Основание $AB$ треугольника $ABC$ параллельно плоскости $\alpha$, а стороны $AC$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $P$ и $Q$. При этом $AP : PC = 3 : 2$. Найдите $AB$, учитывая, что $PQ = 6$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и плоскость $\alpha$.

По условию, основание $AB$ треугольника $ABC$ параллельно плоскости $\alpha$ ($AB \parallel \alpha$). Стороны $AC$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, проходит через прямую $AB$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает плоскость $\alpha$. Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $PQ$, так как точки $P$ и $Q$ принадлежат обеим плоскостям.

Согласно свойству параллельности прямой и плоскости: если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $PQ$ ($AB \parallel PQ$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle PQC$.

Поскольку $AB \parallel PQ$, то эти треугольники подобны. Докажем это:

• $\angle C$ — общий для обоих треугольников.
• $\angle CAB = \angle CPQ$ как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $PQ$ и секущей $AC$.

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle PQC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AC}{PC} = \frac{BC}{QC} = \frac{AB}{PQ}$

Из условия известно, что $AP : PC = 3 : 2$. Обозначим $AP = 3k$ и $PC = 2k$ для некоторого коэффициента $k > 0$.

Тогда длина стороны $AC$ равна сумме длин ее частей:

$AC = AP + PC = 3k + 2k = 5k$

Найдем коэффициент подобия, который равен отношению соответственных сторон:

$\frac{AC}{PC} = \frac{5k}{2k} = \frac{5}{2}$

Теперь, используя соотношение для сторон $AB$ и $PQ$, можем найти длину $AB$. Нам известно, что $PQ = 6$.

$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PC}$

$\frac{AB}{6} = \frac{5}{2}$

Выразим $AB$ из этой пропорции:

$AB = 6 \cdot \frac{5}{2} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15