Номер 58, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

58. Параллельные прямые $a$ и $b$ принадлежат плоскостям $\alpha$ и $\beta$, пересекающимся по прямой $c$. Докажите, что $a \parallel c \parallel b$.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны: $a \parallel b$.
Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$: $a \subset \alpha$.
Прямая $b$ принадлежит плоскости $\beta$: $b \subset \beta$.
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$: $\alpha \cap \beta = c$.

Доказать:
$a \parallel c$ и $c \parallel b$.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: сначала докажем, что $a \parallel c$, а затем, используя этот результат, докажем, что $c \parallel b$.

1. Доказательство параллельности прямых $a$ и $c$

По условию $a \parallel b$ и $b \subset \beta$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Также возможен случай, когда прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

Случай 1: Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).
Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна прямой $c$. Так как обе прямые ($a$ и $c$) лежат в одной плоскости $\alpha$, они должны пересекаться в некоторой точке $M$.
$M = a \cap c$.
Поскольку точка $M$ лежит на прямой $c$, а прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то точка $M$ принадлежит обеим плоскостям. В частности, $M \in \beta$.
Таким образом, точка $M$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $\beta$. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$. Но это противоречит нашему условию для данного случая, что $a \parallel \beta$.
Следовательно, наше предположение (что $a$ и $c$ пересекаются) неверно. Поскольку прямые $a$ и $c$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они параллельны: $a \parallel c$.

Случай 2: Прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).
По условию задачи мы также знаем, что $a \subset \alpha$. Если прямая $a$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, то она является их линией пересечения. По условию, линия пересечения этих плоскостей — это прямая $c$. Следовательно, $a = c$. В этом случае прямые совпадают, что является частным случаем параллельности.

Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что $a \parallel c$.

2. Доказательство параллельности прямых $c$ и $b$

В первой части мы доказали, что $a \parallel c$. По условию задачи нам дано, что $a \parallel b$.
Воспользуемся свойством транзитивности параллельных прямых в пространстве: если две прямые ($b$ и $c$) параллельны одной и той же третьей прямой ($a$), то они параллельны между собой.
Так как $b \parallel a$ и $a \parallel c$, то отсюда следует, что $b \parallel c$.

Таким образом, мы доказали оба утверждения: $a \parallel c$ и $c \parallel b$.

Ответ: Утверждение доказано.