Номер 56, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

56. Прямая $a$ пересекает каждую из скрещивающихся прямых $b$ и $c$, $d \parallel a$. Докажите, что прямые $d$ и $b$ или $d$ и $c$ скрещивающиеся.

Докажите, что прямые $d$ и $b$ или $d$ и $c$ скрещивающиеся

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что утверждение неверно. Это означает, что ни одна из пар прямых ($d, b$) и ($d, c$) не является скрещивающейся. То есть одновременно выполняются два условия:

1. Прямые $d$ и $b$ не скрещиваются.

2. Прямые $d$ и $c$ не скрещиваются.

Рассмотрим последовательно эти условия.

Если прямые $d$ и $b$ не скрещиваются, то они либо пересекаются, либо параллельны. В любом из этих случаев они лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $d$ и $b$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$, $b \subset \alpha$).

По условию задачи, прямая $a$ пересекает прямую $b$. Пусть точка их пересечения – $B$. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ принадлежит этой плоскости ($B \in \alpha$).

Также по условию $d \parallel a$. Мы имеем прямую $a$, которая проходит через точку $B$ плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $d$, лежащей в этой же плоскости. Согласно свойству параллельных прямых, отсюда следует, что и вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Таким образом, плоскость $\alpha$ — это плоскость, которая однозначно определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b$.

Аналогично, если прямые $d$ и $c$ не скрещиваются, они лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $\beta$. Итак, $d \subset \beta$ и $c \subset \beta$.

Прямая $a$ пересекает прямую $c$ в точке $C$. Так как $c \subset \beta$, то $C \in \beta$. Поскольку $d \parallel a$ и $d \subset \beta$, а прямая $a$ проходит через точку $C$ из плоскости $\beta$, то прямая $a$ также лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Следовательно, плоскость $\beta$ — это плоскость, определяемая пересекающимися прямыми $a$ и $c$.

Итак, из нашего предположения мы пришли к тому, что прямая $d$ лежит и в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$), и в плоскости $\beta$ ($d \subset \beta$).

По условию, прямые $b$ и $c$ – скрещивающиеся, а значит, они не могут лежать в одной плоскости. Так как $b \subset \alpha$ и $c \subset \beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут совпадать ($\alpha \neq \beta$).

Прямая $a$ также лежит в обеих различных плоскостях $\alpha$ и $\beta$, а значит, является линией их пересечения: $a = \alpha \cap \beta$.

Поскольку прямая $d$ тоже лежит в обеих плоскостях $\alpha$ и $\beta$, она тоже должна быть линией их пересечения: $d = \alpha \cap \beta$.

Отсюда следует, что прямые $a$ и $d$ должны совпадать ($a = d$). Это противоречит условию задачи, где $d \parallel a$ (подразумевается, что это две разные прямые; если $a=d$, то $a$ должна скрещиваться с $b$ или $c$, но она их пересекает).

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, верно исходное утверждение: по крайней мере одна из пар прямых ($d$ и $b$) или ($d$ и $c$) является скрещивающейся.

Ответ: Доказано.