Номер 55, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

55. Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ равны 5 и 7, сторона $AF$ треугольника $AFB$ – 8, расстояние между серединами $M$ и $N$ отрезков $CD$ и $BF$ – 10. Докажите, что точка $F$ лежит в плоскости $ABC$.

Для доказательства того, что точка F лежит в плоскости трапеции ABCD, воспользуемся векторным методом.

Пусть M — середина отрезка CD, а N — середина отрезка BF. Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы, определяющие вершины фигуры. Для произвольной точки O в пространстве (начала отсчёта), радиус-векторы середин отрезков M и N равны:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OF})$

Тогда вектор $\vec{MN}$ можно найти как разность радиус-векторов его конца и начала:

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OF}) - \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OC} + \vec{OF} - \vec{OD})$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\vec{MN}$ через векторы, соответствующие сторонам и другим элементам исходной фигуры:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{OF} - \vec{OA}) - (\vec{OD} - \vec{OA}) + (\vec{OB} - \vec{OA}) - (\vec{OC} - \vec{OA})) = \frac{1}{2}(\vec{AF} - \vec{AD} + \vec{AB} - \vec{AC})$

Так как $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} = -\vec{BC}$, получаем:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AF} - \vec{AD} - \vec{BC})$

По условию, ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, значит, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Пусть $\vec{e}$ — единичный вектор (орт), сонаправленный с вектором $\vec{AD}$. Тогда, учитывая длины оснований, можем записать:

$\vec{AD} = |\vec{AD}| \cdot \vec{e} = 5\vec{e}$

$\vec{BC} = |\vec{BC}| \cdot \vec{e} = 7\vec{e}$

Подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AF} - 5\vec{e} - 7\vec{e}) = \frac{1}{2}(\vec{AF} - 12\vec{e})$

Длина вектора $\vec{MN}$ задана и равна 10. Найдём квадрат его длины:

$|\vec{MN}|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{AF} - 12\vec{e})\right|^2 = 10^2 = 100$

$\frac{1}{4}|\vec{AF} - 12\vec{e}|^2 = 100 \implies |\vec{AF} - 12\vec{e}|^2 = 400$

Раскроем квадрат модуля как скалярный квадрат:

$(\vec{AF} - 12\vec{e}) \cdot (\vec{AF} - 12\vec{e}) = |\vec{AF}|^2 - 2(\vec{AF} \cdot 12\vec{e}) + |12\vec{e}|^2 = 400$

$|\vec{AF}|^2 - 24(\vec{AF} \cdot \vec{e}) + 144|\vec{e}|^2 = 400$

По условию $|\vec{AF}| = 8$, а $|\vec{e}| = 1$ по определению единичного вектора. Подставим эти значения:

$8^2 - 24(\vec{AF} \cdot \vec{e}) + 144 \cdot 1^2 = 400$

$64 - 24(\vec{AF} \cdot \vec{e}) + 144 = 400$

$208 - 24(\vec{AF} \cdot \vec{e}) = 400$

Выразим скалярное произведение $\vec{AF} \cdot \vec{e}$:

$-24(\vec{AF} \cdot \vec{e}) = 400 - 208 = 192$

$\vec{AF} \cdot \vec{e} = -\frac{192}{24} = -8$

С другой стороны, по определению скалярного произведения, $\vec{AF} \cdot \vec{e} = |\vec{AF}| \cdot |\vec{e}| \cdot \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{e}$ (а значит, и между $\vec{AF}$ и $\vec{AD}$).

$-8 = 8 \cdot 1 \cdot \cos\theta$

Отсюда находим $\cos\theta = -1$.

Значение косинуса, равное -1, означает, что угол $\theta$ равен $180^\circ$. Таким образом, векторы $\vec{AF}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

Поскольку векторы $\vec{AF}$ и $\vec{AD}$ имеют общее начало в точке A и коллинеарны, точки A, F и D лежат на одной прямой. Плоскость трапеции ABC содержит прямую AD. Следовательно, точка F, принадлежащая прямой AD, также лежит в плоскости ABC.

Ответ: Что и требовалось доказать.