Номер 52, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

52. Постройте сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $PQR$ и найдите его площадь, учитывая, что точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $AB$ и $C_1D_1$ куба, а точка $R$ на ребре:

a) $BB_1$ такая, что $BR : RB_1 = 1 : 4$;

б) $BB_1$ такая, что $BR : RB_1 = 1 : 3$;

в) $A_1B_1$ такая, что $A_1R : RB_1 = 3 : 1$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Поскольку куб единичный, его вершины будут иметь следующие координаты:$A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$,$A_1(1, 0, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$, $C_1(0, 1, 1)$, $D_1(0, 0, 1)$.

Найдем координаты заданных точек $P$ и $Q$. Точка $P$ — середина ребра $AB$. Координаты $A(1,0,0)$ и $B(1,1,0)$.$P = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, \frac{1}{2}, 0)$. Точка $Q$ — середина ребра $C_1D_1$. Координаты $C_1(0,1,1)$ и $D_1(0,0,1)$.$Q = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, \frac{1}{2}, 1)$.

а) $BB_1$ такая, что $BR : RB_1 = 1 : 4$;

1. Нахождение координат точки $R$ и уравнения плоскости сечения.Точка $R$ лежит на ребре $BB_1$ и делит его в отношении $1:4$, считая от вершины $B$. Длина ребра $BB_1$ равна 1.$BR = \frac{1}{1+4} \cdot BB_1 = \frac{1}{5}$. Координаты $B(1,1,0)$, $B_1(1,1,1)$. Тогда $R$ имеет координаты $(1, 1, \frac{1}{5})$. Плоскость сечения проходит через точки $P(1, 1/2, 0)$, $Q(0, 1/2, 1)$ и $R(1, 1, 1/5)$. Найдем уравнение плоскости. Составим векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$:$\vec{PQ} = (0-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-0) = (-1, 0, 1)$.$\vec{PR} = (1-1, 1-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}-0) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{5})$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{PQ} \times \vec{PR}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/5 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}\vec{i} + \frac{1}{5}\vec{j} - \frac{1}{2}\vec{k}$. В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, умножив на $-10$: $\vec{n'} = (5, -2, 5)$. Уравнение плоскости имеет вид $5x - 2y + 5z + d = 0$. Подставим координаты точки $P(1, 1/2, 0)$:$5(1) - 2(\frac{1}{2}) + 5(0) + d = 0 \Rightarrow 5 - 1 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = -4$. Уравнение плоскости сечения: $5x - 2y + 5z - 4 = 0$.

2. Построение сечения.Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба.- Грань $ABCD$ ($z=0$): $5x - 2y - 4 = 0$. Пересекает ребро $AB$ в точке $P(1, 1/2, 0)$ и ребро $AD$ в точке $S_1(4/5, 0, 0)$.- Грань $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $5x - 2y + 1 = 0$. Пересекает ребро $D_1C_1$ в точке $Q(0, 1/2, 1)$ и ребро $B_1C_1$ в точке $S_2(1/5, 1, 1)$.- Грань $DCC_1D_1$ ($x=0$): $-2y + 5z - 4 = 0$. Пересекает ребро $DD_1$ в точке $S_3(0, 0, 4/5)$.- Грань $BCB_1C_1$ ($y=1$): $5x + 5z - 6 = 0$. Пересекает ребро $BB_1$ в точке $R(1, 1, 1/5)$. Сечением является шестиугольник с вершинами $S_1(4/5,0,0)$, $P(1,1/2,0)$, $R(1,1,1/5)$, $S_2(1/5,1,1)$, $Q(0,1/2,1)$, $S_3(0,0,4/5)$. Вершины лежат на ребрах $AD$, $AB$, $BB_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $DD_1$ соответственно.

3. Нахождение площади сечения.Площадь сечения $S$ можно найти через площадь его проекции на координатную плоскость $S_{proj}$ по формуле $S = \frac{S_{proj}}{\cos\alpha}$, где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Спроецируем сечение на плоскость $xy$. Вектор нормали к плоскости $xy$ — $\vec{k}=(0,0,1)$. Вектор нормали к плоскости сечения — $\vec{n'}=(5,-2,5)$.$\cos\alpha = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n'}||\cdot||\vec{k}||} = \frac{|5\cdot0 - 2\cdot0 + 5\cdot1|}{\sqrt{5^2+(-2)^2+5^2}\cdot\sqrt{1}} = \frac{5}{\sqrt{54}} = \frac{5}{3\sqrt{6}}$. Проекцией шестиугольника на плоскость $xy$ является шестиугольник с вершинами:$S_1'(4/5, 0)$, $P'(1, 1/2)$, $R'(1, 1)$, $S_2'(1/5, 1)$, $Q'(0, 1/2)$, $S_3'(0, 0)$. Площадь проекции можно найти как площадь единичного квадрата $[0,1]\times[0,1]$ за вычетом площадей двух треугольников в углах:- Треугольник с вершинами $(0, 1/2), (0, 1), (1/5, 1)$. Его площадь: $S_{T1} = \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$.- Треугольник с вершинами $(1, 1/2), (1, 0), (4/5, 0)$. Его площадь: $S_{T2} = \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}$.$S_{proj} = S_{квадрата} - S_{T1} - S_{T2} = 1 - \frac{1}{20} - \frac{1}{20} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$. Площадь сечения: $S = \frac{9/10}{5/(3\sqrt{6})} = \frac{9}{10} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{5} = \frac{27\sqrt{6}}{50}$.

Ответ: $\frac{27\sqrt{6}}{50}$.

б) $BB_1$ такая, что $BR : RB_1 = 1 : 3$;

1. Нахождение координат точки $R$ и уравнения плоскости сечения.$BR = \frac{1}{1+3} \cdot BB_1 = \frac{1}{4}$. Координаты точки $R$: $(1, 1, \frac{1}{4})$. Плоскость сечения проходит через точки $P(1, 1/2, 0)$, $Q(0, 1/2, 1)$ и $R(1, 1, 1/4)$.$\vec{PQ} = (-1, 0, 1)$.$\vec{PR} = (1-1, 1-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}-0) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$. Возьмем $\vec{n'} = (2, -1, 2)$. Уравнение плоскости: $2x - y + 2z + d = 0$. Подставим $Q(0, 1/2, 1)$:$2(0) - \frac{1}{2} + 2(1) + d = 0 \Rightarrow \frac{3}{2} + d = 0 \Rightarrow d = -\frac{3}{2}$. Уравнение плоскости: $2x - y + 2z - \frac{3}{2} = 0$ или $4x - 2y + 4z - 3 = 0$.

2. Построение сечения.Найдем точки пересечения плоскости $4x - 2y + 4z - 3 = 0$ с ребрами куба.- Грань $ABCD$ ($z=0$): $4x-2y-3=0$. Пересекает $AB$ в $P(1,1/2,0)$ и $AD$ в $S_1(3/4,0,0)$.- Грань $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $4x-2y+1=0$. Пересекает $D_1C_1$ в $Q(0,1/2,1)$ и $B_1C_1$ в $S_2(1/4,1,1)$.- Грань $DCC_1D_1$ ($x=0$): $-2y+4z-3=0$. Пересекает $DD_1$ в $S_3(0,0,3/4)$.- Грань $BCB_1C_1$ ($y=1$): $4x+4z-5=0$. Пересекает $BB_1$ в $R(1,1,1/4)$. Сечением является шестиугольник $S_1PR S_2QS_3$.

3. Нахождение площади сечения.Спроецируем сечение на плоскость $xy$. Вектор нормали $\vec{n'}=(2,-1,2)$.$\cos\alpha = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n'}||\cdot||\vec{k}||} = \frac{|2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$. Проекция на плоскость $xy$ — шестиугольник с вершинами:$S_1'(3/4, 0)$, $P'(1, 1/2)$, $R'(1, 1)$, $S_2'(1/4, 1)$, $Q'(0, 1/2)$, $S_3'(0, 0)$. Площадь проекции $S_{proj} = 1 - S_{T1} - S_{T2}$.$S_{T1} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})\frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.$S_{T2} = \frac{1}{2}(1-\frac{3}{4})\frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.$S_{proj} = 1 - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. Площадь сечения: $S = \frac{S_{proj}}{\cos\alpha} = \frac{7/8}{2/3} = \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{16}$.

Ответ: $\frac{21}{16}$.

в) $A_1B_1$ такая, что $A_1R : RB_1 = 3 : 1$.

1. Нахождение координат точки $R$ и уравнения плоскости сечения.Точка $R$ лежит на ребре $A_1B_1$. $A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$.$R = A_1 + \frac{3}{4}(B_1 - A_1) = (1,0,1) + \frac{3}{4}(0,1,0) = (1, \frac{3}{4}, 1)$. Плоскость сечения проходит через точки $P(1, 1/2, 0)$, $Q(0, 1/2, 1)$ и $R(1, 3/4, 1)$.$\vec{PQ} = (-1, 0, 1)$.$\vec{PR} = (1-1, \frac{3}{4}-\frac{1}{2}, 1-0) = (0, \frac{1}{4}, 1)$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (-\frac{1}{4}, 1, -\frac{1}{4})$. Возьмем $\vec{n'} = (1, -4, 1)$. Уравнение плоскости: $x - 4y + z + d = 0$. Подставим $Q(0, 1/2, 1)$:$0 - 4(\frac{1}{2}) + 1 + d = 0 \Rightarrow -2 + 1 + d = 0 \Rightarrow d = 1$. Уравнение плоскости: $x - 4y + z + 1 = 0$.

2. Построение сечения.Найдем точки пересечения плоскости $x - 4y + z + 1 = 0$ с ребрами куба.- Грань $ABCD$ ($z=0$): $x-4y+1=0$. Пересекает $AB$ в $P(1,1/2,0)$ и $DC$ в $S_1(0,1/4,0)$.- Грань $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $x-4y+2=0$. Пересекает $A_1B_1$ в $R(1,3/4,1)$ и $D_1C_1$ в $Q(0,1/2,1)$. Сечением является четырехугольник $PS_1QR$. Проверим, является ли он параллелограммом:$\vec{S_1P} = (1-0, 1/2-1/4, 0-0) = (1, 1/4, 0)$.$\vec{QR} = (1-0, 3/4-1/2, 1-1) = (1, 1/4, 0)$. Так как $\vec{S_1P} = \vec{QR}$, четырехугольник $PS_1QR$ — параллелограмм.

3. Нахождение площади сечения.Площадь параллелограмма можно найти через модуль векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $||\vec{S_1P} \times \vec{S_1Q}||$.$\vec{S_1Q} = (0-0, 1/2-1/4, 1-0) = (0, 1/4, 1)$.$\vec{S_1P} \times \vec{S_1Q} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1/4 & 0 \\ 0 & 1/4 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{4}\vec{i} - 1\vec{j} + \frac{1}{4}\vec{k} = (\frac{1}{4}, -1, \frac{1}{4})$. Площадь $S = ||(\frac{1}{4}, -1, \frac{1}{4})|| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + 1 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{18}{16}} = \frac{\sqrt{18}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.